Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
V Concurso IES Miguel Hernández, 2010
Se construye una función f sobre los números naturales (a partir del 1) que cumple las siguientes tres características, para cualquier valor n:
a) f(1) = 1
b) f(2n + 1) = f(2n) + 1
c) f(2n) = 3f(n)
Encuentra:
f(7)
f(8)
f(12)
Encuentra qué número tendrá por imagen de f el 27.
¿Qué número dará 30 de resultado?
¿Habrá alguno que dé 29? Razona tus respuestas.
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3 comentarios:
Creo que este problema apareció en una versión ligeramente distinta en la Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas de 1989 en la que se pedía obtener el conjunto de valores que toma f, y creo que se puede hacer bastante fácil con cambios de base para concluir que la imagen de f está formada por todos aquellos números que, al expresarlos en base 3, están formados sólo por 0's y 1's.
Efectivamente, de ahí saqué la idea, y la verdad es que no cambié mucho del enunciado :-D
Se puede trabajar sin recurrir a las bases para justificar las respuesta.
podrias dar el resultado
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