Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
Concurso de El Pais, mayo de 2011
Hemos copiado mal una potencia de 2. Sólo sabemos que el exponente empieza por 528, luego hay varias cifras, y termina en 7301.
Hay que calcular cuáles serían las dos últimas cifras de tan enorme número.
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2 comentarios:
Una pista:
"ver cada cuándo repiten las dos últimas cifras las sucesivas potencias de dos"
Pruebo a mano (o con un programa en C) cada cuánto se repiten y encuentro que es cada 20 potencias:
void main(void) {
int i=1, j=0;
while (j<=25) {
printf("2 a la %d -> %02d\n", j, i);
j++;
i = (i*2) % 100;
};
}
2 a la 0 -> 01
2 a la 1 -> 02
2 a la 2 -> 04 ****
2 a la 3 -> 08
2 a la 4 -> 16
2 a la 5 -> 32
2 a la 6 -> 64
2 a la 7 -> 28
2 a la 8 -> 56
2 a la 9 -> 12
2 a la 10 -> 24
2 a la 11 -> 48
2 a la 12 -> 96
2 a la 13 -> 92
2 a la 14 -> 84
2 a la 15 -> 68
2 a la 16 -> 36
2 a la 17 -> 72
2 a la 18 -> 44
2 a la 19 -> 88
2 a la 20 -> 76
2 a la 21 -> 52
2 a la 22 -> 04 ****
2 a la 23 -> 08
2 a la 24 -> 16
2 a la 25 -> 32
Con esta pista, yo creo que ya es fácil de encontrar
Bueno, a 24 horas de esta pista, en la que nos dice que las dos últimas cifras de los números se repiten cada 20 potencias de dos, ahora sólo hay que tomar el número enorme 528xx...xxx3701 y dividirlo por 20 para hallar el resto.
Aunque no tengamos todo el número no es importante porque el resultado seria el mismo de dividir 7301 ó incluso 301.
Si divido 7301 entre 20 el resto es 01.
Ahora compruebo cual de las potencias que se van repitiendo tiene también el mismo resto, y hallo que es 21.
2 a la 21 da un resultado que acaba en 52 , y así debería acabar el número qu busco, si no me he equivocado en algún paso.
Gracias por el problema. Era muy divertido.
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