Perímetros y áreas
Fase provincial de Castellón de la XXI Olimpiada Matemática, 2010
Tres semicírculos
La figura de la imagen está formada por tres semicírculos. Los dos de la parte superior tienen la mitad del diámetro que el de abajo. El punto marcado como O es el punto de tangencia entre los dos semicírculos superiores.
Entre las rectas que pasan por el punto O:
a) ¿Cuántas dividen el perímetro de la figura en dos partes iguales?
b) ¿Cuántas dividen el área de la figura en dos partes iguales?
5 comentarios:
Sean A1 y A2 las áreas de los semicírculos superiores y A3 el área del semicírculo inferior y sean P1 y P2 los perímetros de los semicírculos superiores y P3 el perímetro del semicírculo inferior y sea 'r' el radio de los semicírculos superiores por lo que el radio del semicírculo inferior será '2r', entonces:
P1+P2=2*pi*r
P3=[2*pi*(2r)]/2=2*pi*r
P3=2*pi*r=(P1+P2)
Por lo tanto hay dos rectas que pasan por el punto O y que dividen el perímetro de la figura en dos partes iguales una es perpendicular al diámetro del semicírculo inferior y la otra paralela al diametro del semicírculo inferior y que justamente coincide con el diámetro.
Ahora
A1+A2=pi*r^2
A3=[pi*(2r)^2]/2=2*pi*r^2
A3=2*pi*r^2=2(A1+A2)
Por lo que solo una recta que pasa por el punto O divide a la figura en dos Área iguales y es perpendicular al diámetro del semicírculo inferior.
Pablo Felipe Martínez Ramos
para el perímero me falto considerar las dos rectas que pasan por el punto O y que forman un ángulo de 45º y 135º con el diámetro del semicículo inferior XD
Pablo Felipe Martínez Ramos
Todas las rectas que pasan por O dividen el perímetro en partes iguales.Las áreas sólo serán iguales para la vertical.
1.Por simetría la vertical por O determina áreas y perímetros iguales.
Sea AOB el diámetro del circulo grande perpendicular al eje de simetría, y POQ el segmento que se obtiene rotando AOB en un ángulo agudo t en sentido antihorario.
Veremos que los arcos AP y BQ son iguales. En efecto, AP es un arco del círculo grande y mide 2.r.t.
Por otra parte llamando M al centro de la semicircumferencia derecha esclaro que el ángulo central BMQ mide 2.t y el arco BQ mide 2.t.r, en consecuencia lo que se gana por un lado es igual a lo que se pierde por el otro y los perímetros son iguales.
En cuanto a las áreas, es inmmediato que la del semicírculo inferior es el doble de la de los dos semicírculos superiores.Pero en la nueva posición POQ crece el area superior (el triángulo curvilíneo AOP es mayor que el BOQ pues el simétrico de este último respecto de O queda estrictamente contenido en el primero) y recién se igualan cuando t alcance el valor de pi/2.
Todas las rectas que pasan por O dividen el perímetro en partes iguales.Las áreas sólo serán iguales para la vertical.
1.Por simetría la vertical por O determina áreas y perímetros iguales.
Sea AOB el diámetro del circulo grande perpendicular al eje de simetría, y POQ el segmento que se obtiene rotando AOB en un ángulo agudo t en sentido antihorario.
Veremos que los arcos AP y BQ son iguales. En efecto, AP es un arco del círculo grande y mide 2.r.t.
Por otra parte llamando M al centro de la semicircumferencia derecha esclaro que el ángulo central BMQ mide 2.t y el arco BQ mide 2.t.r, en consecuencia lo que se gana por un lado es igual a lo que se pierde por el otro y los perímetros son iguales.
En cuanto a las áreas, es inmmediato que la del semicírculo inferior es el doble de la de los dos semicírculos superiores.Pero en la nueva posición POQ crece el area superior (el triángulo curvilíneo AOP es mayor que el BOQ pues el simétrico de este último respecto de O queda estrictamente contenido en el primero) y recién se igualan cuando t alcance el valor de pi/2.
Tienes razon "politico aficionado" ya veo porque:
a) Imaginemos una recta situada en el punto O fijo, la cual hacemos girar en sentido antihorario en un ángulo de Aº grados el arco que esta genera en la semircircunferencia grande vale:
r*pi*Aº/180
Ahora para calcular el arco que genera en ...la circunferencia pequeña nos fijamos que este mismo arco medido desde el centro de la circunferencia pequeña es el equivalente a el arco que genera 2Aº grados (por propiedad del angulo inscrito en una circunferencia). calculando llegamos a:
r*pi*Aº/180
Lo que demuestra que lo que se gana en la parte inferior se conpensa con lo que se gana en la parte superior por lo tanto toda recta que pasa por el punto O divide el perimetro de la figura en dos partes iguales
b) es claro que solo la recta que es perpendicular al diámetro de la semicircunferencia grande divide la figura en dos areas iguales .
Salu2!
Pablo Felipe Martínez Ramos
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