Luz en un triángulo
Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, 2010
Triángulo equilátero
Se considera un triángulo equilátero de lado 1 y centro O, como el de la figura. Un rayo parte de O y se refleja en los tres lados, AB, AC y BC, (en el orden dado), hasta alcanzar el vértice A.
Determina la longitud mínima del recorrido del rayo.
Nota: Cuando el rayo se refleja en un lado, los ángulos de entrada (incidencia) y salida (reflexión) coinciden.
3 comentarios:
Hola, podrías explicar como hacer este problema?
dada una función real y=f(x) de variable real f(x)=(x^2-b)*exp(-ax^2) #exp no se si significa e^(a algo) o 10^(algo)
Los parámetros a y b son parámetros reales tales que a mayor que cero y b mayor que cero
se sabe que la función, en el punto x= sqrt(9+3sqrt(6)) tiene un punto de inflexión #sqrt significa raiz cuadrada
Calcula el cociente entre M(máximo) y m(mínimo) M/m
Ayuda: si una identidad tiene la forma
p+ sqrt(q)=r+sqrt(s) p=r y q=s
respecto al problema del triángulo, tan solo hay que desarrollar el triángulo de manera que obtengamos un paralelogramo y unamos el centro del triángulo con el vértice final.
Por lo general, exp(x) se refiere a e elevado a x, mucho más sencillo de derivar.
La idea es que un punto de inflexión anula la segunda derivada, por lo que hay que derivar dos veces la función del enunciado (recuerda que es un producto de funciones), e igualar a 0 para ese valor de x.
Supongo que la ayuda arrojará luz a la relación entre a y b, que parece complicada.
El objetivo no es calcularlos, si no tratar de calcular el cociente entre M y m, que normalmente se saca de las raíces de la primera derivada (valores que la anulan).
Parece un trabajo algo pesado, disculpa pero no tengo tanto tiempo.
f'(x)=2x(exp(-ax^2))-2ax(x^2-b)exp(-ax^2)= 0 (máximo/mínimo)
0=2x-2ax^3-2abx,x diferente de 0
0=2-2ax^2-2ab
0=1-ax^2-ab
x^2=1-ab
x1=sqrt(1-ab)[máximo]
x2=-sqrt(1-ab)[mínimo]
ahora
M/m=-1
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