Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009
Sea el triángulo ABC, donde M es el punto medio de AB, N el punto medio de BC y P el punto medio de AC.
a) Demuestra que si ABC es obtusángulo en A, AN es menor que PM.
b) Demuestra que si AN es menor que PM, ABC es obtusángulo en A.
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3 comentarios:
Establim un sistema cartesià amb centre an A, i l'eix x que passe per B.
Aleshores:
A=(0,0)
B=(b,0)
C=(c,d)
P=1/2(c,d)
M=1/2(b,0)
N=1/2(c+b,d)
MP=1/2(c-b,d)
Si ABC és obtusangle en A, vol dir que el producte escalar de AB i AC és negatiu. (De la definició d'angle)
per tant, volem demostrar:
<0 <=> ||N||<||MP||
Utilitazant el producte escalar standard, i la norma euclidiana(:=()^1/2) queda:
cb<0 <=> 1/2((c+b)^2+d^2)^1/2 < 1/2 ((c-b)^2+d^2)^1/2
Dem:
"=>" És clar que si cb>0, c i b tenen signes diferents, i per tant la suma és menor que la resta en valor absolut. qed
"<="
1/2((c+b)^2+d^2)^1/2 < 1/2 ((c-b)^2+d^2)^1/2 <=> (c+b)^2<(c-b)^2 <=> 2cb<-2cb <=> cb<0. qed
Lema 1
La recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al lado restante.
Dem.
Se puede comprobar por el Tª de Tales.
Formemos el cuadrilátero AMNP, que es un paralelogramo según el Lemma 1.
Ahora bien, sea <A = α →<APN=180-α.
por tanto que si:
α es obtusángulo <APN es menor que α
Y se puede comprobar por el Tª del Coseno que AN<PM si y sólo si el ángulo A es obtuso.
PD 1: sé que es una solución algo incompleta, pero es un poco engorroso escribir fórmulas aquí, yo creo que la idea se queda clara, no?
PD2: no hace falta que publiques los PD son solo notas informativas
PD3: tengo pensado hacer un par de cosas despues de la selectividad, te enviaré un correo y ya hablamos.
Un saludo
Me han gustado mucho las dos demostraciones, pero la que voy a hacer es ligeramente distinta.
Muchas gracias por la idea.
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