jueves, 29 de octubre de 2009

Suma de ángulos

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Se considera un cuadrado ABCD de lado 1. Sea P un punto sobre el lado CB de forma que la distancia PB mide 1/2, y Q otro punto de CB tal que la distancia QB mide 1/3.

Prueba que se cumple que el ángulo BAC es igual a la suma de los ángulos BAP y BAQ.

Solución

lunes, 26 de octubre de 2009

Medias en familia

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Una familia está formada por un padre, una madre y algunos hijos. La media aritmética de las edades de todos ellos es 20.

El padre tiene 48 años, y la media aritmética de las edades de la madre y los hijos es de 16 años.

¿Cuántos hijos hay en la familia?

Solución

jueves, 22 de octubre de 2009

¿Llenamos los huecos?

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

En este problema consiste en llenar los huecos entre los números que hay a continuación para que en vertical y en horizontal resulte el número que está indicado.

Hay dos apartados, en el primero de ellos sólo hay que buscar los signos de las operaciones que hay que poner entre los números para que el resultado siempre sea 16, tanto en horizontal como en vertical:

02 02 02 02 = 16

03 02 05 02 = 16

08 05 04 06 = 16

02 04 02 10 = 16

 =  =  =  =

16 16 16 16

El segundo ejercicio es algo más complicado, porque las operaciones están situadas, pero no todos los números, de forma que habrá que descubrir los que faltan.

+05 + -03 - ___ = -18

 -     -     +     -

___ - ___ + -05 = -04

 -     +     -     +

-02 + ___ + +10 = ___

 =     =     =     =

+04 + -10 - ___ = ___

Solución

miércoles, 21 de octubre de 2009

Olimpiada Matemática Española 2010

Ya se ha publicado la convocatoria de la XLVI Olimpiada Matemática Española, para el año 2010.

Aunque en muchas comunidades autónomas modifican ligeramente las condiciones y fechas, en la convocatoria general de la primera fase fecha la prueba en los días 15 y 16 de enero de 2010 (puede ser en uno de ellos, o en ambos).

En particular, en Cataluña se suele celebrar antes, en diciembre (con otras pruebas, claro).

Si no sabéis cómo poneros en contacto con la organización para participar, en la página de los encargados locales de la Olimpiada podéis encontrar las direcciones de correo de las personas a las que podéis preguntar, aunque tal vez tarden unos días en poder deciros con seguridad los horarios y los lugares de las pruebas.

domingo, 18 de octubre de 2009

Caminando por las aristas de un cubo

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Se consideran un cubo de 1 cm de arista y dos vértices A y B diagonalmente opuestos de una cara del cubo.

Se denomina camino de longitud n a una sucesión de n + 1 vértices de forma que dos consecutivos están a 1 cm de distancia.

Entonces: ¿Cuál de los siguientes números es mayor: el número de caminos de longitud 1000 que empiezan y acaban en A, o el número de caminos de longitud 1000 que empiezan en A y acaban en B?

Justifica la respuesta.

Solución

jueves, 15 de octubre de 2009

Triángulos sobre unos puntos

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Retícula

Retícula

¿Cuál es el número máximo de triángulos que se pueden construir con los vértices situados en los puntos de la figura adjunta?

Es evidente que depende de cómo se cuenten, supondremos que dos triángulos son distintos si tienen distinta forma, es decir, no se puede situar un o sobre el otro mediante un giro o una simetría.

La figura es una retícula rectangular de 5 por 3 puntos, en la que se han suprimido los dos puntos que ocupan posición par en las dos filas de 5 primera y última.

Solución

martes, 13 de octubre de 2009

Encuentro Preolímpico 2009 (III)

Esta semana, el jueves día 15 celebraremos por fin el Encuentro Preolímpico de Matemáticas en el IES Miguel Hernández de Alicante. El programa definitivo, a falta de otras propuestas, será el que figura a continuación.

Programa

17:30 - 18:30 en el aula A-203

A las 17:30 se recibirá a los participantes, procediendo a una sesión de resolución de problemas compuesta por 10 problemas seleccionados de tres competiciones diferentes.

18:30-19:30 en el Salón de Actos

Se celebrará una charla sobre las competiciones matemáticas, en la que se comentará el calendario anual de competiciones, incluyendo la información de que se disponga, y los resultados del año pasado.

19:30 - 20:30 en el Aula A-203

Charla sobre probabilidad con prácticas sobre un sistema llamado ábaco probabilístico. ¡Traed varias monedas de uno, dos o cinco céntimos, que las usaremos como fichas!

domingo, 11 de octubre de 2009

A dos velas

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Hemos colocado en el jardín dos velas de distinta altura.

La más larga mide 28 cm y tarda en consumirse 7 horas, mientras que la más corta, que es más gruesa, tarda en consumirse 11 horas.

Encendemos las dos a la vez cuando empieza la fiesta y al cabo de 3 horas, cuando se van los amigos, las apagamos. En ese momento tienen las dos la misma altura.

¿Sabes qué altura tenía la vela más corta en origen?

Solución

sábado, 10 de octubre de 2009

Descubriendo un fallo

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Un hombre deja al morir una herencia a repartir entre sus hijos en partes iguales. Cuando el notario les reúne para repartir la herencia, menciona que las cifras de este número son 0 0 0 1 2 3 5 6 7 9 9, pero no en ese orden. Cuando dice lo que le toca a cada uno de los hijos, dice "Redondeando los decimales, a cada uno le toca..." y es interrumpido por uno de los hijos, que dice "Me temo que ha cometido un error, o bien está tratando de engañarnos"

¿Cómo pudo averiguar eso el heredero?

Solución

miércoles, 7 de octubre de 2009

Fechas de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana

La Sociedad de Educación Matemática hizo públicas hace un tiempo las fechas para la celebración de la XXI Olimpiada de Matemática de la Comunidad Valenciana, en la que suelen participar alumnos de mi instituto y también de muchos centros que conozco.

Para que los interesados vayan reservando fechas, la primera fase (comarcal) en las provincias de Alicante y Valencia será el sábado 24 de abril, la segunda fase, que será provincial, se celebrará simultáneamente en las dos provincias antedichas y en la de Castellón el 15 de mayo, y la final de la Comunidad Valenciana se celebrará el fin de semana del 5 y 6 de junio.

Al parecer, la inscripción de los participantes se llevará a cabo desde enero hasta el 14 de abril.

Como siempre, habrá un límite de alumnos por centro de enseñanza, si es el centro el que los inscribe. Si alguno de vosotros cursa estudios en un centro que no participe en esta actividad, pero queréis participar, os queda el recurso de inscribiros por vuestra cuenta, siempre que no lo hagan más de seis del mismo nivel y centro. En la provincia de Castellón, aunque no haya fase comarcal, suelen servir las mismas reglas y fechas que en las demás, es decir, que se cierra la inscripción en la misma fecha.

Como todos los años, habrá tres niveles, el de primaria (5º y 6º de primaria, nivel C), el de primer ciclo de secundaria (1º y 2º de ESO, nivel A) y el de segundo ciclo de ESO (3º y 4º de ESO, nivel B).

domingo, 4 de octubre de 2009

Sumando números con cifras repetidas

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

La igualdad 2008 = 1111 + 444 + 222 + 99 + 77 + 55 es un ejemplo de descomposición del número 2008 como suma de números distintos de más de una cifra, cuya representación (en el sistema decimal) utiliza un sólo dígito.

i) Encontrar una descomposición de este tipo para el número 2009.

ii) Determinar para el número 2009 todas las posibles descomposiciones de este tipo que utilizan el menor número posible de sumandos (el orden de los sumandos no se tiene en cuenta).

Solución

jueves, 1 de octubre de 2009

¿Cuál es el último?

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Consideramos los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, ..., 2007, 2008, 2009.

Comenzando por el uno, eliminamos un número sí y otro no.

Con los que quedan, repetimos el proceso.

Así, repetimos este proceso hasta que tan solo queda un solo número.

¿Cuál es este número?

Solución