Desigualdad cuadrática

Fase nacional de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Sean a, b, c números reales positivos tales que abc = 1. Prueba la desigualdad siguiente:

(a/(1 + ab))² + (b/(1 + bc))² + (c/(1 + ca))² ≥ 3/4

Solución

Polígonos con ángulos enteros

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Encuentra todos los polígonos regulares que cumplen que el ángulo entre lados consecutivos mide una cantidad entera de grados sexagesimales.

Solución

Capicúas en base 3

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Los primeros 2009 enteros se han escrito en base 3.

¿Cuántos de ellos son capicúas?

Un número es capicúa si empieza igual que acaba, es decir, que si invertimos el orden de todas sus cifras, obtenemos el mismo número (por ejemplo, 12021 es capicúa).

Los números en base tres son aquellos que se escriben usando únicamente tres cifras, las cifras 0, 1 y 2. Así, el que habitualmente representamos por 3, en base 3 se escribe 10, el 4 se escribe 11, el 5, 12, y el 6 se escribe 20. El 2009 se escribe 2202102, ya que es igual a 1458 + 486 + 54 + 9 + 2 = 2*3⁶ + 2*3⁵ + 2*3³ + 3² + 2, como puedes comprobar.

Solución

Pintando juntos

Fase provincial de castellón de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Pau y Joana son amigos y pintan juntos, y les han contratado para pintar tres paredes iguales. A Pau le cuesta pintar una pared tres horas y a Joana le cuesta seis horas.

Si pintan juntos, averigua las horas que necesitan para acabar el encargo.

Explica qué parte del encargo que ha pintado cada uno.

Solución

El incentro y la altura

Fase nacional de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Sean ABC un triángulo acutángulo, I el centro del círculo inscrito en el triángulo ABC , r su radio y R el radio del círculo circunscrito al triángulo ABC.

Se traza la altura AD = h_a, con D perteneciente al lado BC. Demuestra que DI² = (2R - h_a)(h_a - 2r)

Solución

Lotería primitiva

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

En el sorteo de la Lotería Primitiva se extraen 6 bolas de 49 números posibles, además de otra bola que representa el número complementario, y una bola de otro bombo con 10 posibles valores (del 0 al 9) para determinar el reintegro (devolución de la apuesta).

Hay un premio "gordo" para los acertantes de los seis números de la combinación ganadora; y otros premios menores: cinco números más el complementario, cinco números, cuatro números, tres números y el reintegro.

El precio de una apuesta es de un euro. Consiste en marcar 6 números de los 49. Si apostamos un euro, calcula la probabilidad de que toque cada uno de los premios.

Solución

Colección de cubos

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Helena pinta blancas o negras las caras de una colección de cubos de madera y en cada cubo usa los dos colores.

¿Cuantos cubos puede conseguir que tengan repartidos los colores de manera diferente?

Justifica tu respuesta.

Solución

Tarjetas en pilas

XV Olimpiada de Mayo, tercer problema del primer nivel, 2009

Se tienen 26 tarjetas y cada una tiene escrito un número. Hay dos con el 1, dos con el 2, dos con el 3, y así siguiendo hasta dos con el 12 y dos con el 13. Hay que distribuir las 26 tarjetas en pilas de manera que se cumplan las dos condiciones siguientes:

(i) Si dos tarjetas tienen el mismo número están en la misma pila.

(ii) Ninguna pila contiene una tarjeta cuyo número es igual a la suma de los números de dos tarjetas de esa misma pila.

Determina cuál es el mínimo número de pilas que hay que hacer. Da un ejemplo con la distribución de las tarjetas para ese número de pilas y justifica por qué es imposible tener menos pilas.

Solución

Bronce en la Olimpiada de Mayo

Esta semana me he llevado una alegría, ya que un alumno del IES Miguel Hernández, Julen Rebollo Múgica, ha obtenido medalla de bronce (7º puesto) en la pasada XV Olimpiada de Mayo 2009. Resulta que nadie nos lo había comunicado (los resultados estaban disponibles, al parecer, desde finales de septienmbre) y yo había olvidado por completo revisar la página.

Si quieres conocer el resto de resultados, se encuentran en la página de la Olimpiada de Mayo o en un archivo PDF en la página de la Sociedad Puig Adam.

Supongo que, en un cierto tiempo, nos llegarán los diplomas correspondientes tanto a él como al resto de alumnos participantes, a los que desde aquí felicito por su participación en la competición.