Asignando un dígito
XV Olimpiada de Mayo, primer problema del primer nivel, 2009
A cada número natural de dos cifras se le asigna un dígito de la siguiente manera: Se multiplican sus cifras. Si el resultado es un dígito, éste es el dígito asignado. Si el resultado es un número de dos cifras, se multiplican estas dos cifras, y si el resultado es un dígito, éste es el dígito asignado. En caso contrario, se repite la operación.
Por ejemplo el dígito asignado a 32 es el 6 pues 3 × 2 = 6; el dígito asignado a 93 es el 4 pues 9 × 3 = 27, 2 × 7 = 14, 1 × 4 = 4.
Halla todos los números de dos cifras a los que se les asigna el 8.
1 comentario:
El problema es pot resoldre provant de manera ordenada i comprovar que no ens deixem ningú.
En primer lloc hem de trobar els nombres de dues xifres als que s'assigna 8, però el producte de les xifres és menor que 10. ab=8 /a,b N
Obtenim: 18, 81, 24, 42 Per tant, qualsevol nombre que acabe donant 8, ha de passar per un d'aquests nombres. Ara, hem de trobar, per a cada un d'aquests nombres un altre de dues xifres el producte de les quals done el nombre. 18=2x9,3x6 24=3x8, 4x6 42=6x7 81=9x9. Això vol dir que 29, 92, 36, 63, 38.... també donaran 8. Continuem executant aquest mètode fins que els nombres que trobem siguen primers, o no es puguen expressar com a producte de dos naturals menors que 10. Quan aconseguim això, podrem estar segurs que no queda cap nombre que puga donar 8.
El resultat seria (suposant que no m'haja equivocat, o m'haja oblidat d'algú): 18, 29, 92, 36, 66, 63, 97, 79, 24, 38, 83, 46, 64, 88, 42, 67, 76, 81, 99
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