Segunda sesión de la IMO 2009
Y aquí están los problemas de la segunda sesión. Debo recordar que las soluciones, si las escribo, no estarán disponibles hasta dentro de bastante tiempo. En esta ocasión he obtenido los enunciados de la página oficial de la IMO.
Problema 4. Sea ABC un triángulo con AB = AC. Las bisectrices de los ángulos CAB y ABC cortan a los lados BC y CA en D y E, respectivamente. Sea K el incentro del triángulo ADC. Supongamos que el ángulo BEK = 45◦. Determinar todos los posibles valores de CAB.
Problema 5. Determinar todas las funciones f del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los enteros positivos tales que, para todos los enteros positivos a y b, existe un triángulo no degenerado cuyos lados miden a, f (b) y f (b + f (a) − 1).
(Un triángulo es no degenerado si sus vértices no están alineados).
Problema 6. Sean a1, a2, ..., an enteros positivos distintos y M un conjunto de n − 1 enteros positivos que no contiene al número s = a1 + a2 + · · · + an . Un saltamontes se dispone a saltar a lo largo de la recta real. Empieza en el punto 0 y da n saltos hacia la derecha de longitudes a1 , a2, ..., an , en algún orden. Demostrar que el saltamontes puede organizar los saltos de manera que nunca caiga en un punto de M .
3 comentarios:
Hola Roberto. Quisiera que me guies como se resuelve el siguiente ejercicio que encontré en sector matemática:
a + b + c = 24
a^2 + b^2 + c^2 = 210
abc = 240
Gracias
Este problema es un clásico.
Como conocemos a + b + c y abc, si fuesen las tres raíces de una ecuación de tercer grado, sería como tener el término independiente (abc) y el coeficiente de grado 2 (a + b + c).
El que nos falta es el de grado 1, que debe ser ab + ac + bc.
como tenemos a^2 + b^2 + c^2, podemos elevar (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc, es decir, que 24^2 = 210 + 2(ab + ac + bc), por lo que el término que nos falta es 183.
Ahora, hay que ver qué raíces tiene el polinomio x^3 - 24x^2 + 183x - 240, tanteando con los divisores de 240 por el método de Ruffini.
Sin embargo, no sale ninguna raíz entera. Probando con calculadora, me sale un única raíz real y dos complejas ¿tiene algún sentido?
Muchas gracias, Roberto. Estaba medio bloquedo con el ejercicio. Gracias
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