Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
(Fase local de la XLIV Olimpiada Matemática Española, 2008)
¿Qué número es mayor, 999! o 500999? Justifica la respuesta.
Recuerda que en 999! se multiplican todos los números enteros de 1 al 999, y en 500999 se multiplican 999 factores iguales a 500.
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5 comentarios:
EL PRODUCTO VA POR ENCIMA DEL FACTORIAL. SI COMPARAS EL FACTORIAL EQUIDISTANTE (X+1)(999-X) CON EL PRODUCTO EQUIDISTANTE 500^2 y resuelves la inecuacion (x+1)(999-x)<500^2 te da que el producto equidistante siempre es inferior a 250.000 para todo x
Jose Gutierrez:
n != 500 => (n - 500)^2 > 0
=> n^2 - 1000n + 500^2 > 0
=> 1000n - n^2 - 500^2 < 0
=> n(1000 - n) < 500 * 500
para n=1..499 se obtienen 499 inecuaciones donde la parte izquierda siempre es positiva!
Por eso al multiplicarlas todas entre si se obtendra una nueva inecuacion valida. Despues multiplicamos ambas partes de la nueva inec. por 500, obteniendo asi en la parte izquierda 999! y en la parte derecha 500^999.O sea que el factorial es menor que 500^999.
Jose Gutierrez:
n != 500 => (n - 500)^2 > 0
=> n^2 - 1000n + 500^2 > 0
=> 1000n - n^2 - 500^2 < 0
=> n(1000 - n) < 500 * 500
para n=1..499 se obtienen 499 inecuaciones donde la parte izquierda siempre es positiva!
Por eso al multiplicarlas todas entre si se obtendra una nueva inecuacion valida. Despues multiplicamos ambas partes de la nueva inec. por 500, obteniendo asi en la parte izquierda 999! y en la parte derecha 500^999.O sea que el factorial es menor que 500^999.
Se puede utilizar la fórmula de Stirling: ln n!= n(lnn-1), donde el = es un aproximado, por supuesto. A partir de ahí, es fácil.
Se podría utilizar, claro, pero es matar moscas a cañonazos, porque hay un método mucho más directo. Pero si conoces la fórmula, es cierto que viene a decirte que la desigualdad es clara.
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