jueves, 1 de enero de 2009

Borrando la pizarra

XIV Olimpiada de Mayo, tercer problema del primer nivel, 2008

En un pizarrón están escritos todos los números enteros del 1 al 2008 inclusive. Se borran dos números y se escribe su diferencia. Por ejemplo, si se borran 5 y 241, se escribe 236. Así se continúa, borrando dos números y escribiendo su diferencia, hasta que sólo queda un número. Determina si el número que queda al final puede ser 2008. ¿Y 2007?

En cada caso, si la respuesta es afirmativa indica una secuencia con ese número final, y si es negativa, explica por qué.

Solución

3 comentarios:

marianito dijo...

y ... lo tengo que pensar pero yo diria que no se puede porque cada vez la tabla se dividiria en 2 y para que eso llegue a 1 tendria que estar en la tabla de potencia de 2 miren : 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024, 2048
observamos que no se puede ,ya que al ir simplificando la tabla de a 2 se llegaria a tener un numero impar .. solo los que estan en esa tabla pueden devidirse tantas veces por dos como se quieran hasta llegar a uno ...
en este caso es 2008 y ese seguiria com 1004 terminos despues con 502 terminos y despues con 251 terminos y ahi termina ya no se puede dividir mas.. jaja nose si esta bien pero es lo que se me ocurrio

Anónimo dijo...

esto ocurriria si el ultimo numero fuera impar. en este caso la reduccion dos a dos de la diferencia absoluta cualesquiera hasta que quede uno solo es cero

Anónimo dijo...

Fijense que si agarramos 4 numeros consecutivos, entonces aplicando las reglas nos daria cero, por ejemplo: (2, 3, 4, 5)
agarramos el 2 y el 3,de donde su resta es 1, al igual que si agrramos el 4 y el 5. despues escogemos los dos 1 juntos y su resta sera cero.

Con ello y sabiendo que 2008 es multiplo de 4, podemos agrupar grupos de 4 consecutivos empezando desde el 2 hasta el 2005. Al final nos quedaran los numeros 1, 2006, 2007 y 2008.

De donde, escogemos al 2007 y a 1 y ponemos su resta que es 2006; y despues escogemos los dos 2006, con su resta cero. Y por lo tanto el 2008 quedará al final.