domingo, 28 de febrero de 2010

Un Sangaku

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

El primer problema es un curioso problema de geometría, de una clase muy especial. Se trata de un fragmento de un Sangaku (o San Gaku, 算額). Son problemas clásicos japoneses de tipo geométrico que tienen siempre una estructura muy similar y que eran concebidas como un desafío y también como una ofrenda a los dioses.

Sangaku

Sangaku

En este caso, el dibujo que debes resolver es el que aparece junto a este texto. El rombo que contiene a las cinco circunferencias está formado por dos triángulos equiláteros, es decir, sus ángulos agudos miden 60 grados. La circunferencia mayor es tangente a sus cuatro lados. Las demás son tangentes a dos lados y también a la circunferencia central.

Tu objetivo, como en todo Sangaku que se precie, es conocer las proporciones entre las diferentes figuras, es decir, suponiendo que el lado del rombo mide, pongamos, 42 centímetros, calcular cuánto valdría el radio de cada una de las cinco circunferencias (bueno, de tres, porque dos de ellas son iguales a otras dos, por simetría).

Te sugerimos que empieces por pensar en la circunferencia central y el rombo, y luego, una vez la hayas resuelto, vayas añadiendo las demás.

Como pista, te diremos que para trazar una circunferencia tangente a otra, si el punto de tangencia es conocido, se suele trazar primero la recta tangente común. Resulta más cómodo.

Recuerda tus conocimientos de triángulos, de tangentes y de radios de circunferencias, y dibuja las líneas que necesites. ¡Ánimo!

Solución

jueves, 25 de febrero de 2010

Sumando 2010

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

Este año vamos a empezar con un sencillo problema sobre números. La idea de este problema parte de una vieja anécdota de un genial matemático llamado Carl Friedrich Gauss. A los 10 años, el maestro le impuso la tarea de sumar 100 números consecutivos, del 1 al 100. El joven Gauss apenas tardó unos segundos, para desconcierto de su maestro. Explicó que, como se había dado cuenta de que el primer número y el último sumaban lo mismo que el segundo y el penúltimo, y que podía agrupar así los números en 50 parejas exactamente iguales, se había limitado a multiplicar 50 por 101, obteniendo el resultado exacto de 5050.

Ahora, lo que te proponemos es un juego parecido al que le propusieron a Gauss, pero para el que tendrás que discurrir un poco más. El año que viene es el 2010. ¿Podrías encontrar de cuántas formas es posible escribir 2010 como suma de varios números consecutivos? No te asustes, que no hay tantas. Seguro que hay menos de diez formas. Por lo menos, encuentra algunas de ellas.

Te sugerimos que primero pruebes con un número más bajito, como 20 o 25. Si ensayas con números pequeños podrás poner a prueba tus capacidades de generalizar, de crear una teoría propia y de comprobarla con otros números más grandes.

Solución

lunes, 22 de febrero de 2010

Triángulos en una trama

Triángulo en una trama

Triángulo en una trama

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

Este año empezamos con geometría. Sin embargo, ten en cuenta que a los matemáticos, además de hacer dibujos, nos gusta contar.

Tal vez ya conozcas las tramas cuadradas. Se trata de puntos situados en los vértices de cuadrados de lado unidad (como los vértices de una hoja cuadriculada).

En este caso, vas a trabajar sobre una trama de 9 puntos (3 x 3). Se trata de que busques cuántos triángulos diferentes puedes dibujar de forma que sus vértices estén sobre puntos de esta trama. También les tienes que poner nombre y calcular cuál es su área (ten en cuenta que la distancia mínima entre dos puntitos vale 1 unidad).

Otro triángulo en una trama

Otro triángulo en una trama

Ten cuidado, porque puede haber triángulos iguales dibujados en sitios diferentes, y en ese caso no vale contarlos dos veces. El triángulo del ejemplo, que viene en dos dibujos es el mismo, aunque esté dibujado en dos sitios distintos. También puede haber triángulos distintos, pero que tengan la misma área.

Solución

jueves, 18 de febrero de 2010

Comprando caramelos

Olimpiada Ñandú, tercer nivel del certamen interescolar, 2008

En el quiosco venden paquetes de caramelos de distintas clases.

Los de fruta cuestan 2€ cada uno, los de chocolate 4€ y los de miel 3€.

Ana quiere comprar de las tres clases y quiere gastar 30€.

¿Cuántos paquetes de cada clase puede comprar?

Indica todas las posibilidades.

Solución

domingo, 14 de febrero de 2010

Un sistema de ecuaciones

Fase local de Cataluña de la XLVI Olimpiada Matemática Española, 2009/10

Encuentra todas las ternas (x, y, z) de números reales que cumplen simultáneamente las tres ecuaciones siguientes:

x2 + √(y2+12)=√(y2+60)

y2 + √(z2+12)=√(z2+60)

z2 + √(x2+12)=√(x2+60)

Solución

viernes, 12 de febrero de 2010

Suprimiendo sumas

XV Olimpiada de Mayo, tercer problema del segundo nivel, 2009

En la siguiente suma: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6, si suprimimos los dos primeros signos “+” obtenemos la nueva suma 123 + 4 + 5 + 6 = 138.

Suprimiendo tres signos “+” podemos obtener 1 + 23 + 456 = 480.

Consideremos ahora la suma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13, en la que se van a suprimir algunos signos “+”.

¿Cuáles son los tres menores múltiplos de 100 que podemos obtener de esta forma?

Solución

miércoles, 10 de febrero de 2010

Fechas señaladas

En esta entrada, recordamos algunas de las fechas que están próximas de competiciones en las que participan alumnos de mi centro.

El 23 de marzo, martes, a las 16:30 de la tarde, se lleva a cabo la prueba Canguro Matemático en su edición en castellano (la catalana se celebra dos días más tarde). Antes, el día 16 de febrero hacemos en mi centro, que es donde se realiza la prueba en Alicante, un ensayo, para que todos sepan lo que tienen que hacer.

Del 25 al 28 de marzo se celebra la fase nacional de la Olimpiada Matemática Española, en la que por primera vez, que yo sepa, participan dos alumnos de mi centro. Se llevará a cabo en Valladolid.

El 24 de abril es la Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, en la que hay que inscribir al centro y a los concursantes pronto. Como todos los años, son seis estudiantes por centro y nivel. En mi centro organizamos un concurso para seleccionarlos, que llegará pronto a su fase final.

Si tenéis más noticias para contar, dejadlas en los comentarios y las citaré.

domingo, 7 de febrero de 2010

Pensando con lógica

Fase provincial de Castellón de la XX Olimpiada Matemática, 2009

A partir de las siguientes afirmaciones:

a) Si es azul, es redondo.

b) Si es cuadrado es rojo.

c) Es blanco o amarillo.

d) Si es amarillo, es cuadrado.

e) Es cuadrado o redondo.

¿Qué puedes deducir?

Solución

jueves, 4 de febrero de 2010

Pintemos triángulos

Olimpiada Ñandú, tercer nivel del certamen regional, 2008

Figura a pintar

Figura a pintar

Usando 3 colores: azul, rojo y verde, se quieren pintar todos los triángulos de la figura de modo que dos triángulos que tienen un segmento común, no sean del mismo color.

¿De cuántas formas puede hacerse?

Indica cuáles son.

Solución