jueves, 25 de febrero de 2010

Sumando 2010

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

Este año vamos a empezar con un sencillo problema sobre números. La idea de este problema parte de una vieja anécdota de un genial matemático llamado Carl Friedrich Gauss. A los 10 años, el maestro le impuso la tarea de sumar 100 números consecutivos, del 1 al 100. El joven Gauss apenas tardó unos segundos, para desconcierto de su maestro. Explicó que, como se había dado cuenta de que el primer número y el último sumaban lo mismo que el segundo y el penúltimo, y que podía agrupar así los números en 50 parejas exactamente iguales, se había limitado a multiplicar 50 por 101, obteniendo el resultado exacto de 5050.

Ahora, lo que te proponemos es un juego parecido al que le propusieron a Gauss, pero para el que tendrás que discurrir un poco más. El año que viene es el 2010. ¿Podrías encontrar de cuántas formas es posible escribir 2010 como suma de varios números consecutivos? No te asustes, que no hay tantas. Seguro que hay menos de diez formas. Por lo menos, encuentra algunas de ellas.

Te sugerimos que primero pruebes con un número más bajito, como 20 o 25. Si ensayas con números pequeños podrás poner a prueba tus capacidades de generalizar, de crear una teoría propia y de comprobarla con otros números más grandes.

Solución

3 comentarios:

Lluís Usó dijo...

Resulta obvi que la suma de n nombres consecutius començant amb a és:
n(a+(n-1)/2), (a, n Naturals)

Siga el nombre que volem obtenir b (Natural), aleshores, per a un n fix,

a=((2b/n)-n+1)/2, resulta obvi que n ha de ser divisor de b, ja que si no és així, a no seria natural...

també és fàcilment comprovable que (2b/n)-n+1 serà par si i sols si, 2b/n par i n impar, o si 2b/n impar, n par, però no en cap altre cas. És a dir, n , que ha de ser divisor de b, i per tant estar format pel producte d'una part dels seus divisors, pot estar format per cap dos, o per exactament tants com 2b. En efecte, per al cas 2010, n= 2, 6, 10 no hi ha solució.

També hem de limitar n per tal que a>=1, així, resolent per a a=1, trobem el major valor possible de n (que només pot prendre si és natural)

n^2+n-2b=0, n=((8b+1)^1/2 -1)/2

En el cas particular que ens ocupa, aquest nombre és si fa no fa 62,9, i per tant el valor més gran que pot prendre n és 60 (ja que ha de ser divisor de 2b)

Alex dijo...

Este ejercicio ya apareció hace unos mese. Se trataba de sumar 2009, pero la solución sería similar:

http://problemate.blogspot.com/2009/11/sumando-2009.html

Proble Mático dijo...

Ya, Alex. De hecho, se me ocurrió "reciclarlo" cambiando el número del resultado para el concurso de mi centro.

De todas formas, me interesa que se publiquen todas las soluciones, que son varias.