domingo, 28 de febrero de 2010

Un Sangaku

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

El primer problema es un curioso problema de geometría, de una clase muy especial. Se trata de un fragmento de un Sangaku (o San Gaku, 算額). Son problemas clásicos japoneses de tipo geométrico que tienen siempre una estructura muy similar y que eran concebidas como un desafío y también como una ofrenda a los dioses.

Sangaku

Sangaku

En este caso, el dibujo que debes resolver es el que aparece junto a este texto. El rombo que contiene a las cinco circunferencias está formado por dos triángulos equiláteros, es decir, sus ángulos agudos miden 60 grados. La circunferencia mayor es tangente a sus cuatro lados. Las demás son tangentes a dos lados y también a la circunferencia central.

Tu objetivo, como en todo Sangaku que se precie, es conocer las proporciones entre las diferentes figuras, es decir, suponiendo que el lado del rombo mide, pongamos, 42 centímetros, calcular cuánto valdría el radio de cada una de las cinco circunferencias (bueno, de tres, porque dos de ellas son iguales a otras dos, por simetría).

Te sugerimos que empieces por pensar en la circunferencia central y el rombo, y luego, una vez la hayas resuelto, vayas añadiendo las demás.

Como pista, te diremos que para trazar una circunferencia tangente a otra, si el punto de tangencia es conocido, se suele trazar primero la recta tangente común. Resulta más cómodo.

Recuerda tus conocimientos de triángulos, de tangentes y de radios de circunferencias, y dibuja las líneas que necesites. ¡Ánimo!

Solución

4 comentarios:

Anónimo dijo...

el radio mayor 21*SQRT(3)/2, EL MEDIANO 21*SQRT(3)4 Y EL PEQUEÑO 21*[2-SQRT(3)]/4. LA TANGENTE ENTRE LA GRANDE Y LA MEDIANA QUEDA A LA MITAD DE LA ALTURA DEL EQUILATERO. Y LA TANGENTE ENTRE LA GRANDE Y LA PEQUEÑA GENERA UN ISOSCELES 120º/30º/30º SOBRE EL QUE EL RADIO TANGENTE AL ROMBO ES LA MITAD DE SU HIPOTENUSA QUE SE DEDUCE DE RESTAR LA BASE NAYOR DEL EQUILATERO GRANDE Y EL DIAMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA GRANDE

Anónimo dijo...

Los resultados que obtuve son:
Radio mayor= 18,19
Radio mediano= 9,09
Radio menor= 0,9

Anónimo dijo...

Los resultados que he obtenido son:
Radio mayor = 21xSQRT(3)/2
Radio medio= 14xSQRT(3)/4
Radio menor = 21x(2-SQRT(3))/4

David dijo...

Nombramos.
A=(42•cos(pi/3), 42•sin(pi/3))=(21,21•3^(1/2)) al vértice superior

B=(0,0) y C=(42,0) a los vértices izquierdo y derecho, respectivamente y finalmente

D=(21,-21•3^(1/2)) al vértice inferior.

El diámetro del circulo maximo, será la distancia mínima entre el origen de coordenadas y la recta AC.

Calculamos la pendiente de la recta que pasa por AC con la TVM:
m(AC)=(0-21•3^(1/2))/(42-21)=-3^(1/2)

como la recta pasa por el punto C=(42,0), aplicamos la formula punto pendiente:
y-0=-3^(1/2)(x-42)
y=-3^(1/2)x+42•3^(1/2)
-3^(1/2)x-y+42•3^(1/2)=0

Y la distancia al punto B o sea, al origen de coordenadas será:
D(R,o)=|C|/(a^2+B^2)^(1/2)
D(R,o)=|-42•3^(1/2)|/(3^(1/2)^2+1^2)^(1/2)
D(R,o)= (42•3^(1/2))/(3+1)^(1/2)
D(R,o)= (42•3^(1/2))/(4)^(1/2)
D(R,o)= (42•3^(1/2))/2
D(R,o)= 21•3^(1/2)

Por tanto el radio del circulo mayor será:
r(Cmax) = (21•3^(1/2))/2

El diámetro del circulo medio lo hallaremos analíticamente, ya que su centro estará en la intersección de la recta AD con la recta perpendicular a AC que pasa por la intersección entre la recta BA y la tangente común del los círculos máximo y medio.

la recta AD tiene como ecuación x=21

La tangente común es la recta (21•3^(1/2))/2

Calculamos la TVM de la recta BA:
m(BA) = (21•3^(1/2))/1 = 3^(1/2) como pasa por el punto B=(0,0)
y-0 = 3^(1/2)(x-0)
y=3^(1/2)x

Ahora calculamos el punto de intersección entre la recta BA y la tangente común:
(21•3^(1/2))/2 = 3^(1/2)x -> x=21/2
y=(21•3^(1/2))/2
P(int)=(21/2, (21•3^(1/2))/2)

la recta perpendicular a AC debe tener una pendiente m(perp)=-1/m
m(perpAB) = -1/3^(1/2)= 3^(1/2)/3

y su ecuación será:
y-(21•3^(1/2))/2) = 3^(1/2)/3(x-(21/2))
y = x•3^(1/2)/3 + 7•3^(1/2)


Ahora calculamos el punto de intersección de esta recta y la recta AD
((21•3^(1/2))/3)+7•3^(1/2) = 14•3^(1/2)

Finalmente calculamos la distancia entre la recta tangente común y el punto encontrado:
r(cMed) = 14•3^(1/2)-((21•3^(1/2))/2) = (7•3^(1/2))/2


Ahora vamos a calcular el radio del circulo menor con un procedimiento diferente:

La distancia entre B y la recta tangente común al circulo máximo y el menor será:
d=(42-21•3^(1/2))/2

Por la definición del seno y el coseno, podemos calcular los 3 lados del triángulo:
((42-21•3^(1/2))/2)/cos(pi/3) = 42-21•3^(1/2)

Por el teorema de Pitágoras podemos calcular la mitad del alto:
((42-21•3^(1/2))- ((42-21•3^(1/2))/2))^(1/2) = (21•3^(1/2))-(63/2)

El alto del triangulo será:
2•(21•3^(1/2))-(63/2) = (42•3^(1/2))-63

Así que tenemos un triangulo de lados conocidos; L1=42-21•3^(1/2)
L2=42-21•3^(1/2) y L3=42•3^(1/2)-63

Aplicamos que: El área un triangulo es igual la mitad de su perímetro por el radio de la circunferencia que se inscribe.

El área del triangulo es
A(tri) = (((42•3^(1/2))-63)•(((42-21•3^(1/2))/2))/2 = (3087•3^(1/2))/4-1323

Y su perímetro (42-21•3^(1/2))+(42-21•3^(1/2))+(42•3^(1/2)-63)=21

Por tanto el radio del circulo será:
r(cMen) = ((3087•3^(1/2))/4-1323)/(21/2) = (147•3^(1/2))/2-126


r(Cmax) = (21•3^(1/2))/2 = 18,1865
r(cMed) = (7•3^(1/2))/2 = 6,022
r(cMen) = (147•3^(1/2))/2-126 = 1,3057