Coloreando un tablero

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

Este problema es de un tipo que os puede resultar un tanto extraño, pues se trata de un problema de coloración, es decir, de distinguir ciertos espacios de una figura por colores y encontrar ciertas regularidades.

En este caso, disponemos de un tablero dividido en 10 filas de 10 cuadrados cada una, es decir, en 100 cuadrados. Se colorean con las siguientes condiciones:

1.- Cada cuadrado puede ser azul, blanco o rojo.

2.- No hay dos cuadrados contiguos que sean del mismo color (cuadrados en diagonal no se consideran contiguos).

3.- Hay exactamente 20 que son rojos.

Una vez coloreado, se buscarán en el tablero pares de casillas contiguas, en vertical o en horizontal, que formen dominós perfectos, es decir, que tengan una casilla blanca y la otra azul. Si una casilla decidimos que pertenece a un dominó, no podemos hacer que pertenezca a otro, es decir, se considerará “tapada” o “gastada”.

El ejercicio tiene varias partes:

1.- Encuentra una coloración que permita formar 40 dominós perfectos distintos, es decir, sin casillas en común.

2.- Demuestra que no es posible obtener más de 40 dominós perfectos distintos.

3.- Encuentra una coloración de la que no podamos obtener de ninguna forma más de 30 dominós perfectos distintos.

4.- Demuestra que siempre podemos obtener al menos 30 dominós perfectos distintos.

Pista: Para ciertos pasos, te será útil dividir el cuadrado en filas, y cada fila en cinco pares horizontales. Puedes empezar considerando un rectángulo 10x2, y pintar sólo 4 de rojo. Recuerda que no puede haber dos contiguas con el mismo color.

Solución