La diferencia es 2009

Fase nacional de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Determina justificadamente todos los pares de números enteros (x, y) que verifican la siguiente ecuación: x² - y⁴ = 2009.

Solución

Impuesto en la aduana

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Dos comerciantes de vino entraron en París con 64 y 20 barriles de vino, respectivamente.

Como no tenían bastante para pagar los derechos de la aduana, el primero de ellos entregó 5 barriles y 40 francos, mientras que el segundo dio 2 barriles, recibiendo 40 francos como cambio.

¿Cuál era el precio del barril y el impuesto que se pagaba en la aduana?

Solución

Un punto en un triángulo equilátero

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

El punto P está en el interior de un triángulo equilátero ABC. los puntos Q, R y S son los pies de las perpendiculares trazadas desde P a los lados AB, BC y AC, respectivamente. Sabemos que PQ = 1, PR =2 y PS = 3.

¿Cuánto vale el lado del triángulo equilátero ABC?

Solución

Tres números primos

XV Olimpiada de Mayo, segundo problema del primer nivel, 2009

Encuentra números primos p, q, r, para los cuales sea p + q² + r³ = 200.

Da todas las posibilidades.

Recuerda que el número 1 no es primo.

Solución

Sumando 2009

Fase nacional de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Halla todas las sucesiones finitas de n números naturales consecutivos a₁, a₂, ..., a_n, con n ≥ 3, tales que a₁ + a₂ + ... + a_n = 2009.

Solución

Duplicar moviendo cifras

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Un grupo de alumnos no tiene profesor y, aprovechando el momento, uno de los alumnos escribe en la pizarra un número muy largo, de 18 cifras. Cuando llega el profesor de guardia, borra la última cifra de la derecha y la escribe al principio del número, quedando así un número que es el doble del que había escrito el alumno.

¿Qué número había escrito el alumno en la pizarra?

Solución

Concursos del curso 2009/10

Ya conocemos más detalles de los concursos de este curso.

Hemos recibido información del concurso Canguro Matemático, que estrena nuevo dominio para su página web, http://www.canguromat.org.es/. La fecha de realización de la prueba es el 23 de marzo, martes, en su versión castellana, y el 25 de marzo, jueves, en su versión catalana.

En ambos casos, el periodo de inscripción acaba el 18 de diciembre.

La Olimpiada Matemática Española (OME) ya ha confirmado su fecha de convocatoria para el distrito universitario de Alicante, el sábado día 16 de enero, de 10 a 13 horas, y de 15 a 18. La inscripción se realiza enviando el boletín correspondiente al delegado de la RSME para el distrito universitario hasta pocos días antes. Os recuerdo que la fase final se celebrará entre los días 25 y 28 de marzo en Valladolid y la fase internacional en Astana (República de Kazajstán). Toda esta información se hará pública en la web sobre olimpiadas de la Universidad de Alicante.

En mi instituto, el Miguel Hernández de Alicante, vamos a proponer una pequeña recopilación de material para preparar la prueba. Estad atentos a las noticias de la página web del centro, porque no sé cuándo se pondrá el material.

Cubo inscrito en esfera inscrita en cubo

Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Una esfera está inscrita en un cubo de 24 metros cuadrados de superficie.

Un segundo cubo está inscrito dentro de la esfera.

¿Qué superficie tiene el segundo cubo, en metros cuadrados?

Solución

Asignando un dígito

XV Olimpiada de Mayo, primer problema del primer nivel, 2009

A cada número natural de dos cifras se le asigna un dígito de la siguiente manera: Se multiplican sus cifras. Si el resultado es un dígito, éste es el dígito asignado. Si el resultado es un número de dos cifras, se multiplican estas dos cifras, y si el resultado es un dígito, éste es el dígito asignado. En caso contrario, se repite la operación.

Por ejemplo el dígito asignado a 32 es el 6 pues 3 × 2 = 6; el dígito asignado a 93 es el 4 pues 9 × 3 = 27, 2 × 7 = 14, 1 × 4 = 4.

Halla todos los números de dos cifras a los que se les asigna el 8.

Solución

Un triángulo de tres colores

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Se tienen en el plano 3n puntos: n de color blanco, n de color azul y n de color negro.

Cada uno de los puntos está unido con puntos de color distinto al suyo mediante n + 1 segmentos exactamente.

Probar que hay, al menos, un triángulo formado por vértices de distinto color.

Solución