La cruz sombreada
Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009
Cruz sombreada
En la figura siguiente, tenemos un cuadrado de lado 2 y 8 arcos de circunferencia centrados en los vértices del cuadrado.
Los cuatro arcos mayores pasan por el centro del cuadrado, y los cuatro menores pasan por los puntos de corte de los mayores con el cuadrado. La zona sombreada está fuera de los arcos pequeños, y cada uno de sus brazos dentro de un único arco grande (cada par de arcos grandes contiguos tienen una zona común, y ésta no pertenece a la zona sombreada).
Calcula el área de la cruz sombreada.
6 comentarios:
Reconozco que se me hace muy enrevesado y cuesta arriba, sobre todo al dar el resultado, pero creo que la solución que doy es correcta (siento escribir “raíz de 2” en lugar de 2^1/2, pero es que me lío con tanto 2):
A.Parto de que el área del cuadrado es 4, los radios de los arcos mayores son raíz de 2, y los radios de los arcos pequeños son 2 – raíz de 2.
B.Calculo el espacio que dejan en el cuadrado dos arcos mayores contrapuestos. Calculando primero el área de un círculo de ese radio, y dividiéndolo por cuatro, calculo el espacio que limita un arco. Como son dos, ahorro tiempo dividiendo el área del círculo entre dos. Si le quito esa superficie al cuadrado, me quedará lo que serían dos “gajos” de la zona sombreada más el espacio que limitan dos de los arcos pequeños.
(pi x raíz de dos ^2 )/2=pi
4-pi es el área que dejan estos dos arcos.
C.De la misma manera calculo el área que limitan dos arcos menores:
[pi x (2 – raíz de 2)^2] / 2 = [pi x (6-4raíz de 2) ] / 2 = pi x (3 – 2 raíz de 2)
D.Calculo el área que queda al quitar el resultado de “C” al resultado de “B”
4 – pi – 3pi +2 raíz de 2 pi = 4 – 4pi +2 raíz de 2 pi = 4 – 2pi (raíz de 2 – 2)
E.Multiplico por 2 el resultado obtenido hasta ahora, para completar la figura con los arcos no utilizados.
2x[4 – 2pi (raíz de 2 – 2)] = 8 – 4 pi (raíz de 2 – 2) , que viene a ser, aproximadamente, 0,63879
0.1597 es el area
perdon ese resultado por 4
0.1597 x 4 = 0.6388
El area es igual 4 menos mitad del area del circulo de raio mayor, menos mitad del area del circulo menor multiplicado por 2. El raio del circulo mayor es raiz de 2 y el raio del circulo menor es 2-raiz de 2. :-)))
Me ha gustado mucho la solución de Pilar, que es básicamente como la mía. Gracias por escribir.
Los demás comentarios son correctos, pero muy breves.
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