El juego de los múltiplos
Fase estatal de la XXIII Olimpiada de Matemáticas (2012)
Luis y Elena van a formar cada uno de ellos un número de tres cifras. Para ello, eligen alternativamente un dígito cada uno entre los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 (los dígitos no se pueden repetir).
Luis gana si el número formado es múltiplo de 3. En caso contrario, gana Elena.
a)Si empieza eligiendo Luis, ¿cuál es la estrategia ganadora que puede seguir?
b)Si empieza eligiendo Elena, ¿sigue habiendo estrategia ganadora para Luis?
c)Si eligen los números al azar, ¿qué probabilidad de ganar tendría Luis?
Nota: la estrategia ganadora consiste en describir los pasos que debe dar Luis para que, haga lo que haga Elena, ganar siempre.
7 comentarios:
Como forma cada un de ellos un n°, ¿Luis gana si alguno de los 2 es múltiplo de 3 o si el n° que él forma lo es?
Está claro, o los 2 nºs son múltiplos de 3 o ninguno lo es. No puede ser de otra forma.
No pueden aparecer en el nº de 3 diígitos simultáneamente las parejas de cifras: 1-4, 2-5, 3-6. Les llamaremos parejas prohibidas.
a)Empieza Luis escogiendo cualquier cifra, si Elena elige la cifra de la pareja prohibida con la de Luis, éste ya puede escoger cualquier otra en su 2ª elección porque gana seguro. Si Elena escoge cualquier otra distinta de la prohibida, Luis debe escoger ahora la cifra que forma pareja prohibida con la escogida por Elena, y ahora ya da igual la 2ª elección de Elena porque Luis gana seguro.
b) La estrategia de Luis se basa en escoger la cifra que forma pareja prohibida con la escogida por Elena, para que ella no pueda hacerlo, en cada elección de Elena.
c)2/5
Para resolver el ejercicio solo se necesita que luis escoja la cifra escogida por Elena para que no gane. puede ser como el comentario anterior de escoger la pareja
Pues para mi , no hay estrategia ganadora en ninguno de los dos casos, como dijeron anteriormente, si entre los 3 números estan presentes las parejas 14, 25 o 36 ya el número que se forma NO ES MULTIPLO DE 3, pro lo tanto 1)si empieza LUIS, le basta a Elena elejir la pareja del que elije LUIS, o sea si Luis elije el 1, ella el 4, y asi, es imposible formar un múltiplo de 3. 2) Si empieza Elena directamente elije los dos números que forman pareja y listo
Yo entiendo que cada uno forma un nº de 3 cifras escogiendo entre las 6 y sin repetir ni escoger las del otro, por ello lo hacen alternándose y el orden importa.
El que juega primero, si lo hace bien, siempre gana.
La táctica es muy simple.
Primera jugada:
a/ Da igual lo que juegue el primer jugador A (por ejemplo 1).
b/ Segundo jugador B. Si lo que juega difiere en 3 de la jugada de A (en este caso jugaría un 4), ya está perdido fijo (por ejemplo A jugaría 2 y si B jugase 3 entonces A jugaría 3 o si B juega 3 entonces A jugaría 3, en cualquier caso sumarían múltiplo de 3). Si no es así entonces viene la jugada siguiente.
Segunda jugada:
El primer jugador ha de elegir uno de los restantes números que difiera en +3 ó -3 de la primera jugada del segundo jugador. Supongamos que las jugadas han sido A:1, B:3; entonces la siguiente de A debería ser 6 (porque 6-3=3). Ahora la suma de lo que tiene A es 1+6=7. Existen dos posibilidades de hacer múltiplo de 3 que son sumarle 2 (7+2=9) o sumarle 5 (7+5=12).
Si B elige 2 en la tercera elegiremos 5 y si B elige 5 en la tercera elegiremos 2. Por lo tanto SIEMPRE gana el primero si sigue esta táctica. O dicho de otro modo, el segundo (sea quien sea) sólo ganará si el primero se equivoca.
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