lunes, 30 de julio de 2012

Ecuaciones funcionales (IV)

Aquí pongo unos cuantos ejercicios, extraídos del mismo artículo que los anteriores de la Sociedad Balear de Matemáticas, para que practiquéis los métodos vistos en los artículos anteriores:

(1): Encuentra todas las funciones f(x) tales que 3f(2 - x) + 2f(x) = x2.

(2): Encuentra todas las funciones f : R→R que satisfacen la ecuación funcional f(x2 + y) = f(x) + y2 para todos los valores reales x e y.

(3): Determina todas las funciones f : R+→R tales que f(xy) = f(x)f(3/y) + f(y)f(3/x), con f(1) = 1/2.

(4): Determina todas las funciones f : Q→R tales que f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy.

(5): ¿Existe alguna función f : R→R tal que f(f(x)) = x2 - 2?

(6): Resuelve la ecuación funcional f(xf(x) + f(y)) = y + f(x)2.

11 comentarios:

Alex dijo...

(1) 3f(2 - x) + 2f(x) = x²

si lo evaluamos en x=1 tenemos

3f(1)+2f(1) = 1 -> f(1) = 0.2

y si lo evaluamos en x=0 y x=2 obtenemos el sistema

3f(2) + 2f(0) = 0
3f(0) + 2f(2) = 4

-> f(2) = -1.6
-> f(0) = 2.4

El primer ejercicio hace toda la pinta de que f(x) sea un polinomio.

Alex dijo...

Siguiendo el comentario anterior, supongamos que f(x) sea un polinomio de segundo grado

f(x) = ax² + bx + c

con los tres valores que hemos obtenido en el comentario anterior, f(0), f(1) y f(2), encontramos que dicho polinomio es

f(x) = 0.2 x² - 2.4 x + 2.4

y podemos comprobar que dicho f(x) cumple la condición que buscámos

3f(2-x) + 2f(x) = x²

ahora queda por encontrar más funciones que cumplan la condición, o demostrar que esta es la única función que la cumple.

Alex dijo...

Con el segundo ejercicio pasan cosas raras. No sólo no encuentro la función, sino que parece que dicha función no puede existir.

f(x² + y) = f(x) + y²

Para un mismo número podemos tener diversas expresiones. Por ejemplo f(5)

f(5) = f(2² + 1) = f(2) + 1
f(5) = f(1² + 4) = f(1) + 16
f(5) = f(0² + 5) = f(0) + 25

Algunas de etas expresiones me han llevado a resultados imposibles. Por ejemplo observando f(1) y f(2) :

f(1) = f(0² + 1) = f(0) + 1

pero

f(2) = f(1² + 1) = f(1) + 1
f(2) = f(0² + 2) = f(0) + 4

como f(2)=f(2) tengo que

f(1) + 1 = f(0) + 4

que me lleva a que f(1) = f(0) + 3 , pero antes había obtenido que f(1) = f(0) + 1 !!!!!!

Anónimo dijo...

Alex, a mí también me ha pasado lo mismo en el segundo y creo (aunque no estoy seguro) que se debe a que f(0) no pertenece a la imagen. Es como si fuera un valor indeterminado

Alex dijo...

Otro ejemplo de que en el ejercicio (2) algo no va bien. Tomamos un número al azar, por ejemplo 13, que trae mala suerte:

f(13) = f(3² + 4) = f(3) + 16
f(13) = f(4² + -3) = f(4) + 9

y si ahora expresamos f(4) en función de f(3) obtendremos un resultado que se contradice con los anteriores:

f(4) = f(3² + -5) = f(3) + 25

así tenemos por un lado que f(4) = f(3) + 7 y por otro lado que f(4) = f(3) + 25

Alex dijo...

En el ejercicio (3): f(xy) = f(x)f(3/y) + f(y)f(3/x), con f(1) = 1/2, tenemos que:

f(3) = 1/2

ya que f(1) = f(1)f(3) + f(1)f(3) , así que o bien f(3) = 1/2 independientemente de lo que valga f(1), ó f(1) = 0 pero el enunciado nos dice que no, que f(1) = 1/2

Alex dijo...

en el ejercicio (3)

si f(1)=1/2 y f(3)=1/2, podemos intentar saber qué vale f(x) haciendo y=1

f(1 x) = f(x)f(3/1) + f(1)f(3/x)

f(x) = f(x) 1/2 + 1/2 f(3/x)

así que

f(x) = f(3/x)

ya estamos más cerca de la solución

a mi me recuerda la función logarítmica: si f(x) fuera -log(x) eso es igual a log(1/x) que seria -f(1/x). Se parece un poco, ?verdad?

Alex dijo...

en el ejercicio (3), poco a poco me voy acercando a la solución ...

dije f(x) = f(3/x) ...

casi de chiripa he dado con esto:

si f(x) = f(1/x) una solución sería f(x) = x + 1/x , ya que si cambiamos x por 1/x todo queda igual

de hecho, una familia de soluciones seria f(x) = k1*(x + 1/x) + k2

la solución que buscamos ha de ser muy parecida, pero en lugar de tener el mínimo en x=1 lo tiene en x=sqrt(3)

f(x) = k1*(sqrt(3)/x + x/sqrt(3)) + k2

donde llamo sqrt() a la raiz cuadrada, y k1 y k2 puede ser cualquier número

ahora falta ver si realmente cumple

f(xy) = f(x)f(3/y) + f(y)f(3/x), con f(1) = 1/2, lo cual puede llevar rato, (y además limite los valores de k1 y k2)

Alex dijo...

Me rindo con el ejercicio 3. Algo no hice bien, y ya no sé por donde pillarlo.

"(3): Determina todas las funciones f : R+→R tales que f(xy) = f(x)f(3/y) + f(y)f(3/x), con f(1) = 1/2"

* Haciendo x=1 e y=1 tengo f(1) = f(1)f(3) + f(1)f(3) y simplificando obtengo f(3) = 1/2. ¿Correcto?

* Haciendo y=1 tengo f(x) = f(x)f(3) + f(1)f(3/x) y si utilizo f(1)=1/2 y f(3)=1/2 obtengo que f(x) = f(3/x). ¿Correcto? Funciones que cumplen f(x) = f(3/x) son f(x) = K( x/sqrt(3) + sqrt(3)/x ) + C

* Pero haciendo y=3 tengo f(3x) = f(x)f(1) + f(3)f(3/x) y si utilizo f(1)=1/2 y f(3)=1/2 y f(x)=f(3/x) obtengo que f(3x)=f(x) ¿Correcto? Esto se contradice con lo que había encontrado anteriormente f(x)=f(3/x). EN algún lugar me he equivocado. ¡¡¡¡ME RINDO!!!!

Aquí me planto. El ejercicio 4 y 6 he encontrado a primera vista la solución, que no diré aquí, aunque se trata de encontrarla utilizando razonamientos.

El ejercicio 5 creo que no existe ninguna función que cumpla dicha condición, pero se trata de demostrar el porqué, y yo me rindo. Quizás en otro momento en que esté menos cansado lo vuelva a intentar.

Anónimo dijo...

muy buen blog viejo. soy estudiante de ing quimica de argentina, visito la pagina muy seguido, esta muy bueno que hagan esto. insentiva a muchos a usar la web para abrir un poco la mente en vez de perder tiempo en otros pasatiempos! las soluciones estan muy claras lo que los hace verdaderos maestros. felicitaciones!

Miguel - Marketing on line dijo...

Alex si conseguite hacer el ejercicio 2, dime como lo hiciste, a mi no me sale imagen para valor 0.