sábado, 10 de diciembre de 2011

Escalera de cubos

Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011

Escalera de cubos

Escalera de cubos

Un grupo de cubos están apilados contra una esquina formando una escalera, de forma que en cada nivel hay un cubo más en cada lado.

En la figura se muestra una escalera con cuatro niveles. En ella son visibles 27 de las caras de los cubos.

¿Cuántas caras serían visibles si la escalera tuviera 10 niveles?

Solución



11 comentarios:

Pablo Sussi dijo...

129. En el primer piso se ven 3. Luego en cada piso se agregan los 6 de las 2 piezas del extremo, mas 2 mas por cada pieza interna, en el segundo piso hay 0 interna por lo tanto solo se agregan 6, luego 6+2, 6+4, 6+6....en el 10mo 6+32=38
por lo tanto se ven :
1- 3
2- 9
3- 17
4-27
5-39
6-53
7-69
8-87
9-107
10-129

Pablo Sussi dijo...

Error en la explicion anterior, en el 10mo se agregan 6+16=22 por eso se llegan a 129

José F. Pérez dijo...

En el plano XZ, se ven tantas caras como el nivel en el que estamos.
En el plano YZ, se ven tantas caras como el nivel en el que estamos.
En el plano XY, se ven 1 cara en el primer nivel y dos en el resto.
Para el nivel n, tendremos: 2 x ((sumatorio desde 1 a n de X) + (n-1)) + 1.
Para el nivel 10: 2 x ((1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) + (10-1))+1 = 2 x (55 + 9) +1 = 2 x 64 + 1 = 129

Vicente Lizana dijo...

se puede plantear la sgte. función: Y=X^2+3X-1, siendo Y el numero de caras visibles y X el nivel. llegue a la función de la sgte. manera: los cubos del extremo de cada nivel tienen 3 caras visibles y son 2 veces el nivel menos uno debido a que en el ultimo nivel hay un solo cubo. de a partir de ahí anotamos 3(2X-1) y a eso le sumamos los cubos a los que se les ve solo una cara, que son el total de cubos (X^2) menos los cubos a los que se les ven 3 caras (2X-1) y le restamos también los cubos que no muestran caras, que son los que quedan en la columna central excepto el de la punta, por lo tanto X-1. nos queda la función Y=3(2X-1)+(X^2)-(2X-1)-(X-1). reduciendo llegamos a la función que aparece al principio (Y=X^2+3X-1) que si la aplicamos al nivel 10 nos queda:
Y=10^2+3*10-1
Y=100+30-1
Y=129

azul,lado dijo...

la respuesta correcta son 68 cara

Billie2 dijo...

si crees que la repuesta correcta es 68 deberías publicar un desarrollo que te respalde

Anónimo dijo...

2(n-1)! + 2*(2n-1) + 1

Anónimo dijo...

ps yo mire y calcule que por 4 niveles son 27 caras las que se ven y por 10 son 129
2=9
4=27
8=87
10=129
usando mi regla es facil dar con cualquier resultado de estos. :)
xD

Anónimo dijo...

3*(2*n-1)+2*(sum de n desde n=1 hasta n-2)
En el caso de n=10 el resultado es 129 o sea 3*19+2*36

Jerry Hernandez dijo...

Yo hice lo siguiente Que se me hizo mas fácil Hice un dibujo donde Dibuje La escalera con 10 niveles de cubos conté la mitad y _Me dio como resultado 64 luego multiplique 64x2 y dio 128 y le sume la cara final que es la ultima cara de la escalera y dio como resultado 129. Luego para corroborar hice lo mismo con la escalera de 4 niveles y si dio el resultado correcto. Es decir que el resultado De la Escalera de 10 es de: 129.

Anónimo dijo...

lados:........caras:
1.000.000-----1.000.002.999.999
6395----------40.915.209
500-----------251.499


a ver quien es el 2º que averigua la formula del termino general para esta progrecion