Escalera de cubos
Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011
Escalera de cubos
Un grupo de cubos están apilados contra una esquina formando una escalera, de forma que en cada nivel hay un cubo más en cada lado.
En la figura se muestra una escalera con cuatro niveles. En ella son visibles 27 de las caras de los cubos.
¿Cuántas caras serían visibles si la escalera tuviera 10 niveles?
7 comentarios:
129. En el primer piso se ven 3. Luego en cada piso se agregan los 6 de las 2 piezas del extremo, mas 2 mas por cada pieza interna, en el segundo piso hay 0 interna por lo tanto solo se agregan 6, luego 6+2, 6+4, 6+6....en el 10mo 6+32=38
por lo tanto se ven :
1- 3
2- 9
3- 17
4-27
5-39
6-53
7-69
8-87
9-107
10-129
Error en la explicion anterior, en el 10mo se agregan 6+16=22 por eso se llegan a 129
En el plano XZ, se ven tantas caras como el nivel en el que estamos.
En el plano YZ, se ven tantas caras como el nivel en el que estamos.
En el plano XY, se ven 1 cara en el primer nivel y dos en el resto.
Para el nivel n, tendremos: 2 x ((sumatorio desde 1 a n de X) + (n-1)) + 1.
Para el nivel 10: 2 x ((1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) + (10-1))+1 = 2 x (55 + 9) +1 = 2 x 64 + 1 = 129
se puede plantear la sgte. función: Y=X^2+3X-1, siendo Y el numero de caras visibles y X el nivel. llegue a la función de la sgte. manera: los cubos del extremo de cada nivel tienen 3 caras visibles y son 2 veces el nivel menos uno debido a que en el ultimo nivel hay un solo cubo. de a partir de ahí anotamos 3(2X-1) y a eso le sumamos los cubos a los que se les ve solo una cara, que son el total de cubos (X^2) menos los cubos a los que se les ven 3 caras (2X-1) y le restamos también los cubos que no muestran caras, que son los que quedan en la columna central excepto el de la punta, por lo tanto X-1. nos queda la función Y=3(2X-1)+(X^2)-(2X-1)-(X-1). reduciendo llegamos a la función que aparece al principio (Y=X^2+3X-1) que si la aplicamos al nivel 10 nos queda:
Y=10^2+3*10-1
Y=100+30-1
Y=129
la respuesta correcta son 68 cara
si crees que la repuesta correcta es 68 deberías publicar un desarrollo que te respalde
2(n-1)! + 2*(2n-1) + 1
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