jueves, 10 de noviembre de 2011

Números grandes

Concurso de El Pais, septiembre de 2011

El desafío de esta semana trata de operaciones con números muy grandes. Concretamente, vamos a tomar un número N que, escrito en base 10, tenga 100 cifras. El primero de sus 100 dígitos no puede ser 0, pero por lo demás no hay ninguna restricción.

A continuación separamos N en dos números: el formado por las 50 primeras cifras, que llamaremos A; y el formado por las 50 últimas cifras, que llamaremos B.

El desafío consiste en identificar todos los números N para los que se cumple que N=3AB. Como ejemplo, si en vez de trabajar con un número inicial de 100 cifras, lo hiciéramos con uno de dos, valdría el 24, ya que 24=3x2x4. En este caso, sería fácil hacer la comprobación en todos los números de dos cifras (entre el 10 y el 99) y descubriríamos que solo el 24 y el 15 cumplen la condición que se exige. Sin embargo, en el problema que planteamos la comprobación de todos los números no podría hacerse, ni siquiera por ordenador, en el plazo requerido. Es necesario, por tanto, un razonamiento matemático.

Así, la solución que nos enviéis tiene que contener dos cosas. La primera es una relación de los números N que cumplan la igualdad anterior (N=3AB), si es que hay alguno, y no hace falta que nos digáis cómo los habéis obtenido. La segunda es un razonamiento que demuestre que no hay más soluciones, es decir, que esos son todos los números de cien cifras que cumplen la igualdad.

Solución

1 comentario:

Pablo Sussi dijo...

El unico número posible es 1 seguido de cuarenta y ocho 6, un 7, cuarenta y nueve 3 y un 4.
3AB= 10^50 A + B
3AB -B = 10^50 A
B(3A-1)=10^50 A
B= (10^ 50) A / (3A-1)
Como 3a -1 no es multiplo de A, 10^50 debe serlo, como es un número terminado en 50 ceros y A tiene 50 dígitos, el unico divisor posible de 50 digitos que a su vez sea el triple (menos uno) de otro de 50 digitos es 5*10^49, por lo tanto 3a = 5*10^49 + 1 y a=1 666666 7, b= 33333...4