Soluciones discriminadas

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) Calcular los números p y q tales que las raíces de la ecuación x² + px + q = 0 sean D y 1 – D, siendo D el discriminante de esa ecuación de segundo grado.

Solución

Más edades

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Las edades actuales de Julia y María suman 91 años. Julia es ahora el doble de vieja de lo que era María cuando Julia tenía la edad que ahora tiene María.

¿Qué edades tienen ahora las dos?

Solución.

Entre dos fracciones

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) K es un número entero. Encuentra cuál es su valor, sabiendo que K/30 es una fracción que está entre 1/3 y 2/5.

Solución

Tres cuadrados diferentes

Cuadrados unidos

(Fase provincial de Valencia de la XVII Olimpiada Matemática) Tres cuadrados, de lados de longitud 10, 8 y 6 centímetros respectivamente, se colocan uno junto al otro, en secuencia descendente, de forma que sus lados inferiores están sobre una línea recta. Trazamos una línea desde el vértice superior del cuadrado grande opuesto a los otros dos hasta el vértice inferior del cuadrado pequeño, opuesto a los otros (ver imagen). Después, sombreamos todo lo que caiga por encima de esa línea.

a) ¿Cuál es el área de toda la figura?

b) ¿Cuál es el área de la zona sombreada?

Solución

Cinco esferas tangentes

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) Dos esferas de radio r son tangentes exteriores. Tres esferas de radio R son tangentes exteriores entre sí, cada una tangente a las otras dos. Cada una de estas esferas es, además, tangente exterior a las dos primeras.

Encontrar la relación existente entre R y r.

Solución

Círculos

Área

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) En el dibujo adjunto, los círculos interiores tienen radio de 1 cm, son tangentes dos a dos y tangentes al círculo exterior. Calcula el área pintada.

Descripción del dibujo: se trata de cuatro círculos centrados en las esquinas de un cuadrado, y un círculo que los rodea a los cuatro, tangente a todos ellos. La parte pintada es la exterior a los dos círculos superiores, entre ellos dos y el externo, junto a uno de los círculos superiores.

Solución

Comer unos bocadillos

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Unos amigos se juntan para comer y preparan una cierta cantidad de bocadillos. Una vez que los tienen preparados y se sientan a la mesa, se dan cuenta de que si cada uno se comiese 6 bocadillos, sobrarían 5, pero si cada uno intenta comer 7, entonces faltan 8 bocadillos.

Solución

El peso de la fruta

(Fase provincial de Valencia de la XVII Olimpiada Matemática) Tres manzanas y una pera pesan lo mismo que 10 albaricoques. Una pera pesa lo mismo que 6 albaricoques y una manzana. ¿Cuántas manzanas pesa cada pera?

Solución