Gallinas en el mercado

Fase autonómica de la XXIII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2012

Dos granjeras han vendido las gallinas en el mercado, y han obtenido ambas la misma cantidad de dinero.

Si yo hubiese vendido las mías -dijo la primera- al precio que has puesto tú las tuyas, habría obtenido 100 monedas.

Si yo hubiera puesto el mismo precio que tú, nada más habría obtenido 36 monedas -dijo la segunda.

¿Cuántas gallinas habría vendido cada una, si en total no han llegado a vender una docena?

Solución

El año 2012

Fase estatal de la XXIII Olimpiada de Matemáticas (2012)

a) Empezando por el número 26, construimos una lista de números de la siguiente forma: cada número es la suma de los cuadrados de los dígitos del número anterior. Es decir, el segundo número de la lista es el 40, el tercero es 16, el cuarto es 37 y así sucesivamente.

Si empezamos por el número 2012 ¿cuál será el número que ocupa el lugar 2.012?

b)En la sucesión de números: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6,...

¿Cuál sería el término que ocupa el lugar 2012?

Solución

Áreas y triángulos

Fase autonómica de la XXIII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2012

En un triángulo similar al del dibujo, se ha trazado una linea que divide a la base en dos partes que están en relación 2 a 3 (es decir, que la de la derecha mide 3/5 del total y la de la izquierda, 2/5 del total), y divide al lado de la izquierda en dos partes que están en relación 1 a 2 (la de arriba mide la mitad que la de abajo).

El triángulo pequeño que así se forma tiene un área de 8 u².

Averigua lo que medía el triángulo grande original (antes de dividirlo).

Solución

Criterio de divisibilidad

Fase local de XLIX Olimpiada Matemática Española, 2012/13

Dado un numero entero n escrito en el sistema de numeración decimal, formamos el numero entero k restando del numero formado por las tres ultimas cifras de n el numero formado por las cifras anteriores restantes.

Demostrar que n es divisible por 7, 11 o 13 si y solo si k también lo es.

Solución

Números de tres cifras

Fase autonómica de la XXIII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2012

¿Cuántos números naturales de tres cifras verifican que el producto de la cifra de las unidades por la de las decenas coincide con la cifra de las centenas?

Solución

Repartiendo la tarta

Fase estatal de la XXIII Olimpiada de Matemáticas (2012)

Ana quiere repartir una tarta cuadrada de 30 centímetros de lado entre 5 personas, de forma que reciban la misma cantidad de tarta. El primer corte lo hace partiendo del centro del cuadrado hasta el borde de la tarta, a 10 centímetros de una esquina.

Si el resto de cortes los hace también en línea recta y partiendo del centro ¿cómo corta la tarta?

Si imponemos la condición de que la longitud de borde de la tarta correspondiente a cada trozo sea un número entero, y que los trozos tengan la misma cantidad, ¿entre cuántas personas podría hacerse el reparto?

Solución

Cuadrados con condiciones

Fase autonómica de la XXIII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2012

Encuentra todos los valores enteros de n que hacen que la expresión n/(20 - n) sea un cuadrado perfecto.

Espero que no tengas que probar muchos valores diferentes en esa expresión para encontrarlos, sino que emplees un método más directo.

Solución

Raíces que suman lo mismo

Fase local de XLIX Olimpiada Matemática Española, 2012/13

Prueba que las sumas de las primeras, segundas y terceras potencias de las raíces del polinomio de tercer grado x³ + 2x ² + 3x + 4 valen lo mismo.

He decidido retomar la publicación de problemas en el blog, aunque sea de manera más espaciada. Al menos publicaré un problema por semana, rebuscando entre los de competición y preparación, de diferentes niveles, y poniendo una solución en cuanto pueda.

Solución