lunes, 14 de julio de 2014

Único para cada sucesión positiva creciente

Primer problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2014 (Ciudad del Cabo, Sudáfrica)

Sea a0 < a1 < a2 < ... una sucesión infinita de números enteros positivos. Demostrar que existe un único entero n ≥ 1 tal que: an < (a0 + a1 + ... + an)/n ≤ an + 1

Este problema fue el primero de los propuestos en esa competición, y por tanto, el que mejor promedio obtuvo entre los participantes en el resultado.

Solución:

5 comentarios:

Jorge L. dijo...

Yo tengo lo siguiente:
an< (a0+a1+a2...+an)/n<=an+1
Sabemos que la sumatoria de los terminos de una sucesion es igual a: [(a0+an)n]/2 reemplazando tenemos:
an<([(a0+an)n]/2)/n<=an+1
Simplificando
an<(a0+an)/2<=an+1
multplicando por 2 y restando "an"
an < a0 <= (an+1)- an
Si vemos el lado izquierdo de la desigualdad nos damos cuenta que dado que es una sucesion positiva creciente "an" jamas puede ser menor a "a0" por lo que no existe ninguna n que cumpla tal desigualdad

Proble Mático dijo...

Cuidado, Jorge. Hay dos errores importantes en tu razonamiento.
En primer lugar, puede tratarse de cualquier sucesión, no necesariamente una aritmética, con lo que la fórmula no valdría.
En segundo lugar, en caso de valer, sería la suma de primero y último por el número de términos de la suma y partido por 2. Si te fijas, verás que hay en realidad n + 1 términos en la suma, no n.

Jorge L. dijo...

Sabes, ayer mientras estaba con mi almohada recien se me vino a la mente que existen otro tipo de series que no eran las aritmeticas jejeje.
Gracias por las correcciones tendre mucho mas cuidado la proxima vez, me agrada mucho haber encontrado este blog que, por lo que veo, me va a ayudar a mejorar mis conocimientos en la matematica, considero que tengo mucho que aprender y mucho camino que recorrer, pero esto es justamente lo que me entusiasma a seguir. Nuevamente muchas gracias por la revision y correccion de mi anterior comentario,seguiré practicando con los problemas ya publicados y estare a la espera de los proximos retos.

Jorge C. dijo...

Tengo la siguiente susesion

24<=(16+18+20+22+24)/4<=26

La sucesión viene dada para n=4, k=2 y b=16
Donde el término n-esimo viene dado por kn+b

Según la solución solo n=2 cumple, podrían explicarme mejor el problema?

Proble Mático dijo...

Según el problema, sólo hay un único valor de n para cada sucesión diferente, y en esta sucesión que propones, ese valor es exactamente n=4.

No es contradictorio. La demostración de la solución se basa en que la diferencia entre los términos y esa especie de media que se hace es positiva para el primer valor, y va decreciendo continuamente. La otra desigualdad sólo se produce en el último valor positivo que hay.