sábado, 9 de noviembre de 2013

Desigualdad diofántica

Fase nacional de XLIX Olimpiada Matemática Española, 2012/13

Sean a, b y n enteros positivos tales que a > b y ab - 1 = n^2. Prueba que

a - b ≥ √(4n - 3)

Es decir, que la diferencia entre a y b siempre es mayor o igual que la raíz cuadrada de 4n - 3.

Indica justificadamente cuándo se alcanza la igualdad.

Solución


3 comentarios:

Anónimo dijo...

ab=n^2+1; Por lo que a>sqrt(n^2+1) es decir a>n.

Ahora: a+b=a+(n^2+1)/a , aplicando la desigualdad anterior (lo cual es posible dado que la funcion de a es monotona en el intervalo que nos interesa) obtenemos a+b>2n+1/n y por tanto a+b>=2n+2.

(a-b)^2=(a+b)^2-4ab>=(2n+1)^2-4(n^2+1)=4n-3 QED

la igualdad se dará logicamente cuando a+b=2n+1 Esto fija a y b (en funcion de n) como las soluciones de la ecuacion x^2-(2n+1)x+n^2+1. Para que las raíces sean enteras el determinante 4n-3 debe ser un cuadrado perfecto de un número impar. Por ejemplo 2,1 cumpliria la igualdad. Puesto que 4n-3 es una biyeccion Z->Z, hay infinitas posibles soluciones para las que se cumpla la igualdad.

Proble Mático dijo...

La solución parece muy clara, pero quizá sea difícil de seguir para los alumnos que están preparando esta competición. Lo intentaré explicar un poco más en la solución.
Gracias por el comentario.

Anónimo dijo...

Cuanto es A=05