miércoles, 22 de febrero de 2012

Esferas amontonadas

Fase local de XLVIII Olimpiada Matemática Española, 2011/12

Tenemos una colección de esferas iguales que apilamos formando un tetraedro cuyas aristas tienen todas n esferas. Calcula, en función de n, el número total de puntos de tangencia (contactos) que hay entre las esferas del montón.

Solución

5 comentarios:

JUANFER dijo...

MUY BUENO TU PROBLEMA

eduardo dlc moglia dijo...

problema que se lrae,muy bueno el blogger

Eugenio Reinhard dijo...

Agradecería que borraran mi anterior comentario y añadieran éste, correspondiente a la solución correcta del problema:

N = n*(n^2-1)

edlc dijo...

El tetraedro(ttr)de n=2 es el de menor arista que podemos formar.
esta formado por 4 esferas (esf)que se contactan entre si en 6 puntos.
Agregando 1 esf.a la arista el numero de contactos se incrementara en 6 por el nro. de esf. de la cara del ttr. precedente. Asi, el ttr. de n esf. de arista tendra tantos P de C como la suma de los P de C del ttr. que le precede (arista=n-1) mas 6 veces el numero de esf. de la cara del mismo.Asi se van acumulando los PdeC al aumentar n:

Total contactos TC=6(1+ 1+2+ 1+2+3+.... +(1+2+3+.....(n-1))=
6(n(1+2+3+....n-1)+1^2+2*2+3^2+...(n-1)^2))= (##)
6(n(n(n-1)/2-(n-1)n(2(n-1)+1)/6*(2n^3
=6(n^3-n^2)/2-(2n^3-3n^2+n)/6=
n^3-n
TC=n^3-n
## La suma de los primeros h naturales=!/6(h(h+1)(2h=1)
se puede dem. por IM

eduardo dlc moglia dijo...

Algun signo del desarrollo del calculo fue mal tipeado pero el resultado y el concepto serian correctos