Sumar infinidad de áreas

Fase local de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11

Dos semirrectas tienen su común origen en el punto O.

Se considera una circunferencia C₁, tangente a ambas semirrectas, cuyo centro está situado a distancia d₁ de O, y cuyo radio es r₁.

Se construyen sucesivamente las circunferencias C_n, de modo que C_n es tangente a las semirrectas, tangente exterior a C_n−1 y tal que la distancia de su centro a O, d_n , es menor que d_n−1 , para n > 1.

Halla la suma de las áreas de los círculos limitados por las circunferencias C_n, para todo n, en función de r₁ y d₁ .

Solución