Ceros anteriores
Fase local de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11
Saber cuál es la ultima cifra de 20092011 es muy fácil, pero ¿cuántos ceros preceden a esa ultima cifra?
domingo, 25 de septiembre de 2011
lunes, 19 de septiembre de 2011
Sumando y restando cuadrados
Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011
Calcula la suma de:
20112 -20102 + 20092 -20082 +................+32 – 22 + 12
sábado, 17 de septiembre de 2011
Llenar y tapar un rectángulo
Concurso de El Pais, agosto de 2011
Tenemos una mesa rectangular y un número suficientemente grande de círculos, todos del mismo tamaño. Se consideran dos tipos de distribuciones de círculos sobre el tablero:
La primera consiste en poner los círculos sobre la mesa, con su centro dentro de ella, de forma que no se superpongan (sí puede haber contacto) y además de forma que no quepa ningún otro círculo. En ese caso diremos que se ha llenado la mesa.
En la segunda distribución, los círculos sí pueden superponerse y se debe conseguir que todos los puntos de la mesa estén en alguno de ellos (es decir, que no quede a la vista ningún punto del tablero). En ese caso, diremos que se ha tapado la mesa.
El desafío consiste en demostrar que si la mesa se puede llenar con un número n de círculos, entonces se puede tapar con 4n de ellos.
NOTA IMPORTANTE: El planteamiento del desafío no dice nada sobre las medidas de los círculos ni de la mesa, que son totalmente arbitrarias. No se trata por tanto de calcular el número de discos o el tamaño que deberían tener, sino de justificar que la afirmación de que una mesa que se llena con n círculos se tapa con 4n círculos es siempre cierta. Sin embargo, podemos tomar como unidad la medida del círculo, para fijar conceptos.
viernes, 16 de septiembre de 2011
El precio de las bicicletas
Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011
Manel ha vendido dos bicicletas al mismo precio: 192€ cada una de ellas.
Una de las biciletas la ha vendido un 20% más cara de lo que le costó, pero la otra la tuvo que vender un 20% más barata.
Él piensa que no ha ganado ni ha perdido dinero.
¿Tiene razón? Justifícalo.
lunes, 12 de septiembre de 2011
Los bloques
Fase provincial de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011
Un niño está jugando con su juego de bloques de construcción.
Después de hacer un castillo le sobran 4 bloques de 1cm de longitud, 3 bloques de 5cm de longitud y 3 de 25 cm de longitud.
En ese momento se pregunta: ¿De cuántas maneras diferentes podría combinar estos bloques para conseguir todas las longitudes posibles de al menos 1 cm?
sábado, 10 de septiembre de 2011
Seis distancias en doce vértices
Concurso de El Pais, agosto de 2011
Octógono con cuatro distancias
En un cuadrado, es muy fácil observar que no podemos emparejar sus cuatro vértices, sin repetir ninguno, de forma que obtengamos 2 segmentos de longitud distinta. O bien podemos conseguir las dos diagonales, o bien dos de los lados, pero nunca podremos obtener un lado y una diagonal.
En cambio, en un octógono regular, sí que podemos emparejar sus ocho vértices, sin repetir ninguno, para obtener 4 segmentos de longitud distinta. Numerando los vértices del octógono del 1 al 8 en el sentido de las agujas del reloj, una forma de emparejarlos sería: (1,2), (3,6), (5,7) y (4,8).
El desafío consiste en decir si es posible emparejar los vértices de un polígono regular de 12 lados (un dodecágono regular), sin repetir ninguno, para obtener en este caso 6 segmentos de longitud distinta. En caso de que sí se pueda, hay que encontrar una combinación de 6 pares de vértices como la que hemos obtenido para el octógono. En caso de que no se pueda, hay que dar un razonamiento lógico que nos asegure por qué no.
NOTA IMPORTANTE: Recomendamos que no intentéis resolverlo probando todos los casos posibles.
jueves, 8 de septiembre de 2011
Sumar infinidad de áreas
Fase local de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11
Dos semirrectas tienen su común origen en el punto O.
Se considera una circunferencia C1, tangente a ambas semirrectas, cuyo centro está situado a distancia d1 de O, y cuyo radio es r1.
Se construyen sucesivamente las circunferencias Cn, de modo que Cn es tangente a las semirrectas, tangente exterior a Cn−1 y tal que la distancia de su centro a O, dn , es menor que dn−1 , para n > 1.
Halla la suma de las áreas de los círculos limitados por las circunferencias Cn, para todo n, en función de r1 y d1 .
domingo, 4 de septiembre de 2011
Reunión de conocidos
Fase comarcal de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011
A Irene le han invitado a una fiesta de cumnpleaños a la que asisten 12 persones, ella incluida, y nada más conoce a otra de las personas que hay en la fiesta.
Josep, otro de los asistentes, sólo conoce dos.
Una tercera asistente, Griselda, conoce tres, y así sucesivamente, de manera que se pueden ordenar once de las persones invitadas de manera que cada una conoce una persona más que la anterior, hasta llegar a la persona número
11 que conoce a todos los asistentes. ¿Cuantas personas conoce el duodécimo y último invitado?
Hemos de suponer que si una persona X conoce a otra, Y, entonces la persona Y conoce a X (propiedad reflexiva).
sábado, 3 de septiembre de 2011
Un cuadrado mágico especial
Concurso de El Pais, agosto de 2011
Tenemos un cuadrado mágico con los siguientes números:
1ª fila: 5, 22, 18;
2ª fila: 28, 15, 2;
3ª fila: 12, 8, 25.
La suma de sus filas, columnas y diagonales principales, que llamaremos constante mágica, es 45.
Pero este cuadrado tiene algo especial. Para verlo, utilizando como idioma el inglés, sustituiremos cada uno de los números del cuadrado por el número de letras de la palabra con la que se escribe dicho número en inglés (es decir, el 5 lo sustituiremos por un 4, ya que la palabra five tiene cuatro letras, el 22 lo sustituiremos por un 9 porque twenty two tiene nueve letras, etcétera).
Así, nos daremos cuenta al hacer todas las sustituciones de que lo que obtenemos es otro cuadrado mágico:
4, 9, 8;
11, 7, 3;
6, 5, 10.
Consideraremos por tanto especiales a estos cuadrados mágicos en los que el número de letras del nombre de los números que contiene forman a su vez otro cuadrado mágico. Evidentemente, esto dependerá del idioma usado, y este cuadrado mágico especial que obtenemos usando el inglés, no lo sería si hiciéramos lo mismo usando el español.
El desafío consiste en construir un cuadrado especial usando como idioma el español.
NOTA IMPORTANTE: En la respuesta deberíais incluir una descripción del método seguido para encontrar el cuadrado mágico especial. Como recomendación aconsejamos observar los dos cuadrados mágicos del ejemplo. Uno de ellos os puede dar una pista para construir un cuadrado mágico especial.
jueves, 1 de septiembre de 2011
Con tres dígitos
Fase comarcal de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011
Dados 3 dígitos a, b i c, es posible formar 6 números de dos cifras diferentes, eligiendo cada vez dos de los tres dígitos.
Determina los posibles conjuntos {a, b, c} para los que la suma de esos 6 números de 2 cifras construidos es exactamente 484.
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