Triángulos enteros

(sectormatematica.cl) ¿Cuántos triángulos hay de hasta 12 cm de perímetro con las unidades de sus lados todas enteras?

¿Cuál de todos los que tienen de perímetro 12 crees tú que es el de mayor área? Explícalo.

Solución

Escasez de relojes de arena

(sectormatematica.cl) ¿Cómo medirías 12 minutos, si sólo dispones de un reloj de arena de 15 minutos y otro de 9 minutos?

Solución

Mago busca puerta

Un mago bastante torpe ha oído hablar del problema número 2, y quiere guardar su tesoro con un sistema parecido. Dispone de cuatro trolls sirvientes, y quiere darles llaves de su tesoro de forma que cuando se junten tres cualesquiera de ellos, pueda abrirse la cámara, pero si sólo se juntan dos no se pueda. ¿Cuántas cerraduras deberá poner, como mínimo, y cuántas llaves deberá darle a cada troll?

Solución

Cuboctaedro

cuboctaedro

(sectormatematica.cl) Si cortamos las esquinas de un cubo por la mitad de las aristas obtenemos un poliedro llamado cuboctaedro. Si la arista del cubo mide 6 cm:

a) Calcular su área.

b) Calcular su volumen.

Solución

Jugando con ventaja

(sectormatematica.cl) Tenemos tres dados con las caras pintadas: uno con tres caras azules y tres caras verdes, otro con dos caras azules y cuatro verdes y el tercero con todas las caras verdes.

El juego consiste en lanzar dos dados (uno tú y otro yo): si las caras son del mismo color ganas tú y si salen de distinto color gano yo. Si yo elijo para lanzar el dado de las tres caras verdes y tres caras azules, ¿qué dado elegirías tú?

Solución

Cuadrado perfecto

(sectormatematica.cl) Verificar que la siguiente igualdad es cierta:

1 + 3 + 5 +... + (2n-1) = n²

Solución

Treinta denarios en cinco piezas

(sectormatematica.cl) Un hombre tomó una posada por treinta días, por el precio de un denario cada día. Este huésped no tenía dinero, sino cinco piezas de plata, que entre todas ellas valían treinta denarios. Con estas piezas pagaba cada día la posada y no le quedaba debiendo nada a la posadera, ni ella a él.

¿Puedes decir cuántos denarios valía cada pieza y cómo se pagaba con ellas?

Solución

El alfarero hace botijos

(Olimpiada 2005, fase provincial) Un alfarero recibe el encargo de hacer una cierta cantidad de botijos en un plazo determinado. Si hace 25 cada día, faltarían 15 al acabar el plazo, pero si hace 26, sobrarán 8 al final del plazo. ¿Cuál es el plazo y cuántos los botijos?

Solución

Los triángulos del cuadrado

(Olimpiada local 2005)En el interior del cuadrado ABCD se construye el triángulo equilátero ABE. Sea P el punto de intersección de las rectas AC y BE. Sea F el punto simétrico de P respecto de la recta DC. Se pide demostrar que:

a) El triángulo CEF es equilátero.

b) el triángulo DEF es rectángulo e isósceles.

c) el triángulo BDF es isósceles.

d) el triángulo PDF es equilátero.

solución

El peso de la moneda falsa

En una urna hay 1000 monedas. Todas son exactamente iguales, excepto una, que es falsa y pesa distinto de las otras. Disponemos de una balanza de precisión. ¿Puedes, con sólo dos pesadas, determinar si la moneda falsa pesa más o pesa menos que las otras?

Solución

El área de la luna

luna

Calcula el área de la zona sombreada, sabiendo que el cuadrado tiene de lado 1 decímetro.

Solución

El tesoro de los gnomos

(Olimpiada local 2006) En el sótano de un castillo, 7 gnomos custodian su tesoro. El tesoro se guarda tras 12 puertas. Cada una de las puertas tiene 12 cerraduras. Todas las cerraduras son distintas. Los gnomos disponen de llaves para que tres cualesquiera de ellos puedan abrir todas las puertas. Demuestra que entre todos los gnomos tienen, al menos, 336 llaves.

Solución

Ventana con círculos

ventana

Una ventana cuadrada de dos metros de lado tiene dibujados cuatro círculos iguales y tangentes entre sí y a los costados (como se ve en la figura). Calcula el área comprendida entre los cuatro círculos.

Solución

Un viajante precavido

Un viajante recorre en coche 5000 kilómetros cambiando regularmente las ruedas (incluida la de repuesto) para que todas sufran el mismo desgaste. ¿Cuántos kilómetros recorre cada rueda?

Solución

El cuadrilátero inscrito y circunscrito

(Preparación oficial) Sobre una circunferencia se dan tres puntos A,B,C . Construir con regla y compás un cuarto punto D de modo que en el cuadrilátero ABCD se pueda inscribir otra circunferencia.

Solución

Siete veces sus cifras

Encuentra todos los números de dos cifras que tengan la siguiente propiedad: cuando se dividen por la suma de sus cifras, el cociente es siete.

Solución

El dinero de María

María se ha quedado sin dinero, pero tiene 500 euros depositados en un banco. Tan solo están permitidas dos operaciones bancarias: retirar 300 euros o ingresar 198. Estas operaciones se pueden repetir tantas veces como se quiera, pero en ningún momento pueden retirarse más dinero del que haya en la cuenta. ¿Cuál es la máxima cantidad de dinero que Maria puede extraer de su cuenta? ¿Cómo lo puede conseguir?

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