Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
Primer problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015
Demuestra que (ax + by)2 ≤ ax2 + by2 para cualesquiera números reales x, y, con a + b = 1, a, b ≥ 0.
¿En qué casos se da la igualdad?
Esta entrada forma parte de una sección temática en la que daré una solución de todos los problemas del viernes del año 2015, escrita de forma puntual.
Si quieres colaborar con el blog, o contactar con el autor, deja un comentario en cualquiera de las entradas.
Leo todos los comentarios antes de que se publiquen, así que si dejas información sensible (correo electrónico, por ejemplo) lo borraré antes de que lo vea alguien más.
Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons.
6 comentarios:
Sea f(x)=x^2
Como f es convexa y a+b=1, entonces la desigualdad pedida se obtiene directamente aplicando desigualdad de Jensen:
f(ax+by) ≤ af(x) + bf(y)
(ax+by)^2 ≤ ax^2 + by^2
Además, como f es estrictamente convexa la igualdad se cumple cuando x=y; o en el caso que a=0 o b=0.
Saludos :)
La demostración así es muy breve, pero ¿podrías hacerlo sin hacer uso de esa avanzada herramienta, con matemáticas más elementales?
Se me ha ocurrido lo siguiente:
Sea t=ax+by, como a+b=1 entonces se puede obtener:
a = (y-t)/(y-x)
b = (t-x)/(y-x)
Se puede asumir además, sin pérdida de generalidad, que x≤y.
De esta última asunción, se puede concluir que:
(1-b)(x-y) ≤ 0 (ya que b≤1)
(1-b)x-(1-b)y ≤ 0
(1-b)x + by ≤ y
ax+by ≤ y
t ≤ y
De modo similar, puede demostrarse que x≤t
Luego, la desigualdad es cierta si y solo si:
t^2 ≤ [(y-t)/(y-x)]x^2 + [(t-x)/(y-x)]y^2
(y-x)t^2 ≤ (y-t)x^2 + (t-x)y^2
(y-x)t^2 ≤ (y-x-t+x)x^2 + (t-x)y^2
(y-x)(t^2-x^2) ≤ (t-x)(y^2-x^2)
Si t≠x y además y≠x entonces:
t+x ≤ y+x
t ≤ y
Que es verdadera por lo demostrado anteriormente.
La igualdad se cumple entonces en los casos que t=x, t=y o x=y.
Los dos primeros casos ocurren si a=0 o b=0, respectivamente.
Saludos :)
¡Qué eficacia!
Muy rápida la respuesta.
Si en un negosio llegan 3 viajantes cada 20 dias otro cda15 y otro cda24 cda cuants dias sw encuentran los 3???
¿La igualdad se da en a=0 y b=0? Eso es cierto solo si no tomamos en cuenta la condición inicial a+b=1
Yo lo hice de la siguiente manera:
(ax + by)^2 <= ax^2 + by^2
Elevamos al cuadrado y mandamos todo al primer miembro
a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2 -ax^2 -by^2<=0
Factorizamos
ax^2(a-1) + by^2(b-1) + 2abxy <=0
De a+b=1 Despejamos a y b y reemplazamos solo en los términos entre paréntesis
ax^2(1-b-1) +by^2(1-a-1) + 2abxy<=0
Operamos
-abx^2 -aby^2 +2abxy<=0
Factorizamos y agrupamos
-ab(x-y)^2 <=0
Si se observa el primer miembro para que sea menor a cero, tiene que ser negativo, si observamos el segundo factor siempre es positivo (elevado al cuadrado) entonces el factor "-ab" tendría que ser negativo siempre, y efectivamente siempre es asi ya que a y b son números positivos (debido a la condición inicial del problema)
Y la igualdad se da en primer lugar cuando el factor "-ab" es igual a cero (y recordemos que a+b =1) y esta se da solo cuando a=1 y b=0; a=0 y b=1
Y como también se puede ver en el segundo factor, la igualdad también ocurre cuando x=y.
Publicar un comentario