sábado, 9 de agosto de 2014

Un punto en la circunferencia

Cuarto problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2014 (Ciudad del Cabo, Sudáfrica)

Los puntos P y Q están en el lado BC del triángulo acutángulo ABC de modo que el ángulo PAB es igual al BCA y en ángulo CAQ es igual al ABC. Los puntos M y N están en las rectas AP y AQ respectivamente, de modo que P es el punto medio de AM y Q es el punto medio de AN.

Demostrar que las rectas BM y CN se cortan en la circunferencia circunscrita del triángulo ABC.

El cuarto problema, primero de la segunda sesión, suele ser el segundo en nivel de dificultad. Hay varios enfoques para este. Ánimo, intentadlo.

Solución: próximamente.

3 comentarios:

Javier dijo...

Hola Roberto! Conozco tu blog y tu página en facebook desde hace unos años. Trabajo como profesor de matemáticas en una academia y sólo te escribo para darte las gracias por el esfuerzo que haces en mantener vivos estos portales, llenos de problemas interesantísimos con un toque muy especial, que los hace claramente destacar respecto a lo que estamos acostumbrados a encontrar en los libros de texto. No sé si trabajas solo o en equipo, pero en cualquier caso os envío también mis ánimos para que nunca dejéis de llevar a cabo esta labor; además en un formato tan exquisito: propuesta, periodo de reflexión y solución.

Estuve un tiempo participando en el planteamiento de soluciones y ahora voy a ver si puedo y me reengancho. De momento este problema de los triángulos me parece imposible... seguiré intentándolo.

Gracias de nuevo! Saludos

Anónimo dijo...

Hola como estan? Estoy viendo el problema y me surgió una duda. No soy muy bueno en geometría pero me gustó este desafío. Mi consulta es: Donde dice "Demostrar que las rectas BM y CN se cortan..." no debería decir "Demostrar que las rectas BN y CM se cortan...".
Saludos!
Franco

Javier dijo...

Hola,

después de mucho tiempo con este problema en la cabeza, por fin creo haber encontrado la solución. La nomenclatura es un poco densa, pero confío en traducir fielmente mis conclusiones:

DATOS INICIALES

AQ=QN
AP=PM
AN=2AQ=2QN
AM=2AP=2PM

α=BCA=PAB
β=ABC=QAC
δ=BAC
Sea θ tal que δ+θ=180
τ=BEQ=NED
ω=CFP=MFD

Se llama D al punto de corte entre BM y CN.
Se llama E al punto de corte entre BM y AN.
Se llama F al punto de corte entre CN y AM.

RESOLUCIÓN

Si el punto D pertenece a la circunferencia circunscrita del triángulo, significa que θ=BDC, luego esto es lo que hay que demostrar.

En primer lugar, obsérvese que los triángulos ABC, ABP y ACQ son semejantes, ya que tienen los mismos ángulos, α, β y δ. Por tanto, θ=AQB=APC y a partir de ahí se deduce que δ=BQE=CPF.

Una vez establecidos esos ángulos, considérense los triángulos QCN y PBM. Puesto que θ=BPM=CQN, si se demuestra que QC/PM es igual a QN/PB, habremos demostrado que de nuevo se trata de triángulos semejantes, ya que comparten un ángulo tal que los lados que lo forman, en cada triángulo, son proporcionales entre sí. Veamos:

QC/PM=QC/AP

Recordando que los triángulos ABP y ACQ son semejantes, podemos continuar:

QC/AP=AQ/PB=QN/PB, luego hemos demostrado que QC/PM=QN/PB, es decir, que los triángulos QCN y PBM son semejantes.

Una de las consecuencias de esta semejanza es que PBM=QNC.

Por otro lado, desde el principio se dedujo que τ=BEQ=NED, al resultar de dos rectas secantes, luego los triángulos BEQ y NED también son semejantes por tener iguales todos sus ángulos.

Del mismo modo se puede demostrar que también son semejantes los triángulos CPF y MFD.

Finalmente, en virtud de tales semejanzas, obsérvese que δ=BQE=EDN, de donde se deduce que θ=BDC, como queríamos demostrar.