lunes, 31 de octubre de 2011

Elegir a un equipo goleador

Concurso de El Pais, septiembre de 2011

En un colegio dos alumnos que son porteros de fútbol deciden organizar un partido. Ellos han de elegir 10 jugadores cada uno entre 20 de sus compañeros.

Para ello los 20 jugadores se ponen en fila y cada uno de los porteros ha de ir escogiendo alternativamente uno de los dos jugadores que se encuentran en el extremo de la fila.

Los porteros conocen el número de goles que cada uno de los jugadores ha marcado en un torneo anterior y el objetivo de ambos es conseguir un equipo que haya marcado más goles que el otro.

Pues bien, la primera parte del desafío consiste en demostrar que el primero que elige tiene una estrategia para no perder nunca. Es decir, que puede haber empate pero siempre podrá elegir un equipo que sume tantos o más goles que el rival independientemente de cómo se coloquen los jugadores y de los goles que hayan marcado.

La segunda parte del desafío es la siguiente: ¿Existe una estrategia análoga para el primero o para el segundo en elegir si escogen entre un grupo de 21 jugadores? (se entiende que se quedará un chico sin jugar).

Solución

miércoles, 26 de octubre de 2011

Funciones naturales

Fase local de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11

Denotamos por N = {1, 2, 3, ...} el conjunto de números naturales excluido el cero, y por N = {0, 1, 2, 3, ...} el conjunto de números naturales incluido el cero.

Encontrar todas las funciones f:N → N que sean crecientes, es decir f(n) ≥ f(m) si n > m, y tales que f(nm) = f(n) + f(m), para todo n, m ∈ N.

Solución

jueves, 20 de octubre de 2011

El estanque helado

Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011

Con el frío del invierno un estanque de forma rectangular se ha congelado.

Unos niños, jugando, han lanzado una piedra que ha quedado en un punto de la superficie, sobre el hielo.

Antonio dice que basta calcular tres longitudes desde la piedra a tres de las esquinas del rectángulo para saber cuánto valdrá la cuarta distancia.

¿Puedes ayudarle a calcular esa cuarta distancia en función de las otras tres?

Llama a, b, c a las tres distancias y encuentra la última, x.

Solución

domingo, 16 de octubre de 2011

Construyendo superficies

Concurso de El Pais, septiembre de 2011


Superficie a construir

Superficie a construir

El desafío de esta semana consiste en describir qué superficie se obtiene pegando los lados del mismo color de la figura plana que se muestra en la imagen que vemos junto al texto.

Al pegar cada pareja de lados (los rojos, los azules,...etc) el sentido de las flecha debe coincidir; la circunferencia verde tiene que pegarse con la arista verde identificando el punto señalado en la circunferencia con los extremos de la arista; además suponemos que la figura está hecha de un material que podemos deformar todo lo que queramos (¡siempre y cuando no lo rompamos!).

Puesto que el material del que está hecha la figura es totalmente deformable, podríamos construir muchas superficies distintas, algunas de ellas muy difíciles de describir, pero habrá una que será la más simple de todas. Veamos un estudio matemático de mediados del siglo XIX que puede ayudar a dar con la solución.

Las superficies se clasifican en superficies con bordes, como el cilindro o la banda de Moebius, y en superficies sin bordes, como la esfera o un flotador.

Los matemáticos del siglo XIX demostraron que cualquier superficie de una sola pieza, sin bordes, que no sea infinita (un ejemplo de superficie infinita sin bordes es un plano infinito) y que se pueda construir sin problemas en nuestro espacio tridimensional (sin cortarse a sí misma) se puede deformar, sin romperse, en una de las siguientes superficies: o en una esfera, o en un flotador, o en un flotador para 2 personas, o en un flotador para algún número finito de personas con un agujero para cada persona.

En cuanto a las superficies con bordes, siempre se podrán deformar o en la cinta de Moebius o en una de las anteriores -la esfera, el flotador...- a la que se le ha recortado una cantidad finita de discos; o en combinaciones que no detallamos aquí de estas dos primeras posibilidades. Así por ejemplo, un pantalón se puede deformar hasta ser una esfera a la que le recortamos 3 discos.

Por tanto, pegando -sin retorcer innecesariamente- los lados del mismo color de la figura de tal manera que el sentido de las flechas coincida y deformándolo todo lo que sea necesario -se puede estirar, contraer...- se puede conseguir exactamente una de las superficies modelo que acabamos de enumerar. La pregunta es: ¿cuál es esa superficie?

Solución

sábado, 15 de octubre de 2011

Las vacaciones del director

Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011

El director de un colegio se fue de vacaciones a la ciudad de Santander.

Durante sus días de vacaciones se cumplieron las siguientes afirmaciones:

- Llovió siete veces por la mañana o por la tarde.

- Cuando llovió por la tarde la mañana estuvo despejada.

- Hubo exactamente cinco tardes despejadas y seis mañanas despejadas.

¿Cuántos días estuvo de vacaciones el director?

Solución

viernes, 7 de octubre de 2011

Campamento de verano en los Pirineos

Fase autonómica de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011

Esta noche la mayoria de jóvenes campistas han pedido para cenar tortilla de patatas.

Fran y Pere son los encargados de pelar un par de sacos con un total de 600 patatas.

Fran consigue pelar 8 patatas por minuto y Pere 5 patatas por minuto, por lo que le toca quedarse 16 minutos más pelándolas.

¿Cuántas patatas pela cada uno?

Solución

domingo, 2 de octubre de 2011

Dos alfombras triangulares

Concurso de El Pais, septiembre de 2011

Alfombras triangulares

Alfombras triangulares

En una habitación de planta rectangular hay dos alfombras triangulares, una rosa y otra verde, colocadas como se muestra en la figura, de forma que un lado de cada alfombra tapa uno de los lados no paralelos y el vértice contrario llega hasta el lado paralelo al que tapa.

Se sabe que el área de la parte no cubierta por las alfombras (coloreada en amarillo) mide 4,2 m2.

¿Cuánto mide el área del cuadrilátero determinado por la superposición de las dos alfombras (sombreado en negro en la imagen)?

La respuesta debe incluir, además del área expresada en metros cuadrados, el razonamiento seguido para llegar a la solución.

Solución