El juego de los múltiplos

Fase estatal de la XXIII Olimpiada de Matemáticas (2012)

Luis y Elena van a formar cada uno de ellos un número de tres cifras. Para ello, eligen alternativamente un dígito cada uno entre los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 (los dígitos no se pueden repetir).

Luis gana si el número formado es múltiplo de 3. En caso contrario, gana Elena.

a)Si empieza eligiendo Luis, ¿cuál es la estrategia ganadora que puede seguir?

b)Si empieza eligiendo Elena, ¿sigue habiendo estrategia ganadora para Luis?

c)Si eligen los números al azar, ¿qué probabilidad de ganar tendría Luis?

Nota: la estrategia ganadora consiste en describir los pasos que debe dar Luis para que, haga lo que haga Elena, ganar siempre.

Solución

Los triángulos

Fase comarcal de Valencia de la XXIV Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2013

Si dibujamos cuatro líneas como se ve en la figura, formando el triángulo OAB y la altura que llega a O, y trazamos 100 rectas paralelas al segmento AB, de forma que corten todas ellas a los segmentos OA y OB ¿cuántos triángulos obtendríamos?

Solución:

Trata de contar los que aparecen si sólo hacemos una línea, si hacemos dos, ..., hasta que estés preparado para pensar cuántos habría con 100.

Un baile con poca diferencia

Fase local de XLIX Olimpiada Matemática Española, 2012/13

En una sala de baile hay 15 chicos y 15 chicas dispuestos en dos filas paralelas de manera que se formarán 15 parejas de baile.

Sucede que la diferencia de altura entre el chico y la chica de cada pareja no supera los 10 centímetros.

Demuestra que, si colocamos a los chicos y a las chicas en dos filas paralelas en orden creciente de estaturas, las parejas que se formen tomando de forma ordenada los miembros de las dos filas que están enfrentados, en ese caso tampoco superarán una diferencia de 10 centímetros.

Solución:

Páginas de un libro

XIX Olimpiada de mayo, 2013

Sofía sumó los números de las páginas de un libro empezando por el 1 de la primera página y obtuvo 2013. Pablo vio cómo hacía la suma y se dio cuenta de que se saltó una página. ¿Cuántas páginas tiene el libro y qué número de página que se saltó?

Solución

Éste es el primer ejercicio de segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2013. Es una competición cuyos problemas me parecen muy interesantes, espero que a mis visitantes también.

Saludos en el patio

Fase estatal de la XXIII Olimpiada de Matemáticas (2012)

En el patio de un Instituto hay 70 chicos alineados en 7 filas y 10 columnas. Cada uno da la
mano a todos los que están a su alrededor -por ejemplo, el que está situado en una esquina
daría la mano a tres compañeros- ¿Cuántos saludos hubo en total?

Y en el caso de que formasen m filas y n columnas, ¿cuántos saludos habría en total?

Solución:

Gallinas en el mercado

Fase autonómica de la XXIII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2012

Dos granjeras han vendido las gallinas en el mercado, y han obtenido ambas la misma cantidad de dinero.

Si yo hubiese vendido las mías -dijo la primera- al precio que has puesto tú las tuyas, habría obtenido 100 monedas.

Si yo hubiera puesto el mismo precio que tú, nada más habría obtenido 36 monedas -dijo la segunda.

¿Cuántas gallinas habría vendido cada una, si en total no han llegado a vender una docena?

Solución

El año 2012

Fase estatal de la XXIII Olimpiada de Matemáticas (2012)

a) Empezando por el número 26, construimos una lista de números de la siguiente forma: cada número es la suma de los cuadrados de los dígitos del número anterior. Es decir, el segundo número de la lista es el 40, el tercero es 16, el cuarto es 37 y así sucesivamente.

Si empezamos por el número 2012 ¿cuál será el número que ocupa el lugar 2.012?

b)En la sucesión de números: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6,...

¿Cuál sería el término que ocupa el lugar 2012?

Solución

Áreas y triángulos

Fase autonómica de la XXIII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2012

En un triángulo similar al del dibujo, se ha trazado una linea que divide a la base en dos partes que están en relación 2 a 3 (es decir, que la de la derecha mide 3/5 del total y la de la izquierda, 2/5 del total), y divide al lado de la izquierda en dos partes que están en relación 1 a 2 (la de arriba mide la mitad que la de abajo).

El triángulo pequeño que así se forma tiene un área de 8 u².

Averigua lo que medía el triángulo grande original (antes de dividirlo).

Solución