jueves, 30 de diciembre de 2010

Posiciones

Pruebas de selección para Estalmat 2010

En este problemas debes describir los métodos que usarías para encontrar las posiciones que se indican. Deberás acompañar la explicación de un dibujo.

a) Tenemos dos puntos A y B situados de cualquier forma. ¿Dónde puedes colocar un tercer punto C para que los tres formen un triángulo equilátero?

b) Ahora, nuestros dos puntos A y B son vértices de un triángulo isósceles. A partir de ellos, dibuja donde podrías poner el tercer punto C que forma con A y B el triángulo isósceles.

c) Ahora, si tenemos tres de los vértices de un paralelogramo A, B y C, situados en cualquier posición (pero no alineados, claro) ¿Dónde podemos situar exactamente el cuarto, D? Indica todas las posibilidades.

d) Por último, supongamos que te dan tres puntos que están situados en los vértices de un triángulo equilátero. Busca los lugares donde puedes colocar un cuarto punto P, para que los triángulos PAB, PBC y PCA sean isósceles. Ten en cuenta que hay muchas soluciones.

Solución

domingo, 26 de diciembre de 2010

Un punto de corte curioso

Fase local de Cataluña de la XLVI Olimpiada Matemática Española, 2009/10

En un triangulo ABC, de lados a, b y c, se consideran un punto Q sobre AB y la recta que pasa por Q y C.

Demuestra que la circunferencia que tiene como a diámetro los incentros I1 y I2 de los triángulos ACQ y BCQ corta el segmento QC en el punto Q y en otro punto P que dista p − c de C, donde p es el semiperímetro del triangulo ABC.

Solución

jueves, 23 de diciembre de 2010

La carrera

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

Dos ciclistas A y B disputan una carrera de una vuelta completa a un velódromo de 500 m. La línea de salida es la misma para los dos, pero corren en sentido contrario.

El ciclista A cruza la línea de llegada cuando a B le faltaban 5 m por recorrer.

¿Dónde tendrá que situarse la línea de salida para los dos, para que lleguen al mismo tiempo a la meta?

Solución

domingo, 19 de diciembre de 2010

Haciendo rodar un papel

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

Dos cilindros

Dos cilindros

Toma dos hojas de papel iguales. Con ellas puedes construir dos cilindros diferentes, como puedes ver en el dibujo, uno más delgado y otro más corto.

a) ¿Cuál de los dos tendrá mayor capacidad?

b) Si los dejamos caer por un plano inclinado, ¿Cuál rodará más rápido?

Dos prismas

Dos prismas

c) También puedes hacer dos prismas con otras dos hojas iguales. ¿Cuál de los cuatro cuerpos tiene mayor capacidad?

Solución

viernes, 17 de diciembre de 2010

Números en un triángulo

Pruebas de selección para Estalmat 2010

Números en un triángulo

Números en un triángulo

Se forma un triángulo con seis números, de forma que tres ocupan los vértices y otros tres los centros de los lados. En este problema, sólo conocemos los números que ocupan los centros de los lados, que figuran en el dibujo. Se trata del 17, el 10 y el 45.

1) Rellena con números enteros positivos los vértices del triángulo de forma que la suma de los tres números de cada lado del triángulo sea la misma.

2) ¿Puedes encontrar otra solución? ¿Cuál?

3) Si hubieras encontrado una solución ¿Cómo podrías encontrar otra? ¿Cuántas soluciones dierentes crees que existen?

4) Encuentra una solución en la que la suma de los lados sea exactamente 80.

Solución

domingo, 12 de diciembre de 2010

Desigualdad de fracciones

Fase local de Cataluña de la XLVI Olimpiada Matemática Española, 2009/10

Sean a, b y c tres números reales y positivos tales que 1/a2 + 1/b2 + 1/c2 = 9.

Prueba que 1/(2a + b) + 1/(2b + c) + 1/(2c + a) ≤ √3.

Solución

jueves, 9 de diciembre de 2010

Pirámide numérica

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

Pirámide numérica

Pirámide numérica

Se construye una pirámide numérica colocando números en la base y situando la suma de dos de ellos consecutivos en la fila superior, en medio de los anteriores.

Rellena los cuadros en blanco por números para completar la pirámide.numérica de la figura.

Solución

martes, 7 de diciembre de 2010

Ocho lados

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

Observa el siguiente procedimiento para construir un octógono.

Dibuja un cuadrado cualquiera y divide en tres partes iguales cada uno de sus cuatro lados.

Une cada dos puntos de división consecutivos.

Habrás obtenido un octógono.

¿Crees que es regular?

¿Cómo debería haberse efectuado la división de los lados del cuadrado para obtener un octógono regular?

Solución

domingo, 5 de diciembre de 2010

El caso es llegar

Fase provincial de Valencia de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Una liebre y una tortuga parten de la meta para recorrer una pista en un estadio circular.

Mientras la liebre recorre una vuelta y un cuarto, la tortuga sólo recorre un tercio de vuelta.

¿Cuántas vueltas debe dar cada una para coincidir de nuevo en la meta?

Solución