Aprovechando el problema anterior, voy a dar durante el verano una pequeña introducción a algunos de los temas que habitualmente salen en los concursos de problemas, dedicado a aquellos alumnos que tengan tiempo en verano para dar un pequeño repaso.
En esta primera ocasión, me voy a dedicar a una interesante familia de problemas, como son la ecuaciones funcionales. Este tipo de problemas sólo aparecen en competiciones de nivel alto, como la Olimpiada Española (nivel bachillerato).
Se trata de problemas en los que el objetivo es caracterizar, o calcular, la fórmula de una función, a partir de una o varias ecuaciones que afectan a valores particulares de la función, y a características como su tendencia, su continuidad, o propiedades similares.
Veamos un ejemplo:
Encuentra todas las funciones de Q en Q (f : Q→Q), que cumplan:
i) f(1) = 2
ii) f(xy) = f(x)f(y) - f(x + y) + 1.
Veamos a continuación algunas ideas para su solución.
- Substituir en las ecuaciones las variables por valores concretos, que tengan alguna importancia en la fórmula (generalmente, 0, 1, un entero cualquiera, el inverso de un entero, un número fraccionario, una raíz cuadrada, si tiene algún sentido...).
- Tratar de calcular algunos valores a partir de otros (inducción). A veces se pueden calcular mediante sumas los enteros, los inversos, las fracciones (y, por continuidad, los irracionales, ya que siempre tienen cerca una fracción).
En nuestro ejemplo, puesto que conocemos f(1) = 2, podemos calcular fácilmente f(2), tomando en la igualdad x = 1, y = 2.
Con un poco de habilidad, podemos determinar que para todo valor entero, se tiene que f(n + 1) = f(n) + 1 (cambiando x = 1, y = n, tenemos que f(n) = 2f(n) - f(n + 1) + 1, de donde se deduce esa igualdad). Por lo tanto, la función entre los enteros es una progresión aritmética de diferencia 1, y su fórmula es f(n) = n + 1.
Ya podemos pasar a los números inversos, de la forma 1/n, con n un entero, con un poco de trabajo, llegamos a probar tras un par de substituciones en la igualdad, que f(1/n) = 1/n + 1, y de ahí, a probar que para cualquier m, n enteros f(m/n) = m/n + 1. De forma que la única función que cumple el enunciado es f(x) = x + 1.
Otra de las formas de atacar el problema es detectar propiedades como la inyectividad (que dos valores distintos tienen imagen distinta) o la exhaustividad (que todo número es imagen de algún valor), que a veces tienen una aplicación en la solución.
Veamos otro ejemplo:
Encuentra todas las soluciones de la ecuación f(f(x)) = 0, sabiendo que f : R→R satisface la ecuación funcional x + f(x) = f(f(x)) para todo x.
Para solucionarlo, veamos que valores diferentes de x e y dan imágenes diferentes, ya que si f(x) = f(y), entonces f(f(x)) = f(f(y)), porque f(x) y f(y) son en realidad el mismo valor, y de la ecuación funcional se deduce que x = f(f(x)) - f(x) = f(f(y)) - f(y) = y.
Por eso, para cada resultado de la función sólo puede haber un valor que lo alcance.
Pero de la ecuación aplicada en el punto 0, deducimos que f(f(0)) = f(0) + 0 = f(0), por lo que tenemos dos puntos que dan el mismo resultado, luego f(0) = 0. De ahí, f(f(0)) = 0, por lo que es solución de la ecuación, y es la única también por la inyectividad.
Creo que esto ha quedado un poco largo. Dejaré para otro día la segunda parte y algunos ejercicios de ejemplo.
