Un Sangaku
IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009
El primer problema es un curioso problema de geometría, de una clase muy especial. Se trata de un fragmento de un Sangaku (o San Gaku, 算額). Son problemas clásicos japoneses de tipo geométrico que tienen siempre una estructura muy similar y que eran concebidas como un desafío y también como una ofrenda a los dioses.
En este caso, el dibujo que debes resolver es el que aparece junto a este texto. El rombo que contiene a las cinco circunferencias está formado por dos triángulos equiláteros, es decir, sus ángulos agudos miden 60 grados. La circunferencia mayor es tangente a sus cuatro lados. Las demás son tangentes a dos lados y también a la circunferencia central.
Tu objetivo, como en todo Sangaku que se precie, es conocer las proporciones entre las diferentes figuras, es decir, suponiendo que el lado del rombo mide, pongamos, 42 centímetros, calcular cuánto valdría el radio de cada una de las cinco circunferencias (bueno, de tres, porque dos de ellas son iguales a otras dos, por simetría).
Te sugerimos que empieces por pensar en la circunferencia central y el rombo, y luego, una vez la hayas resuelto, vayas añadiendo las demás.
Como pista, te diremos que para trazar una circunferencia tangente a otra, si el punto de tangencia es conocido, se suele trazar primero la recta tangente común. Resulta más cómodo.
Recuerda tus conocimientos de triángulos, de tangentes y de radios de circunferencias, y dibuja las líneas que necesites. ¡Ánimo!