Un punto en la circunferencia

Cuarto problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2014 (Ciudad del Cabo, Sudáfrica)

Los puntos P y Q están en el lado BC del triángulo acutángulo ABC de modo que el ángulo PAB es igual al BCA y en ángulo CAQ es igual al ABC. Los puntos M y N están en las rectas AP y AQ respectivamente, de modo que P es el punto medio de AM y Q es el punto medio de AN.

Demostrar que las rectas BM y CN se cortan en la circunferencia circunscrita del triángulo ABC.

El cuarto problema, primero de la segunda sesión, suele ser el segundo en nivel de dificultad. Hay varios enfoques para este. Ánimo, intentadlo.

Solución: próximamente.

Único para cada sucesión positiva creciente

Primer problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2014 (Ciudad del Cabo, Sudáfrica)

Sea a₀ < a₁ < a₂ < ... una sucesión infinita de números enteros positivos. Demostrar que existe un único entero n ≥ 1 tal que: a_n < (a₀ + a₁ + ... + a_n)/n ≤ a_{n + 1}

Este problema fue el primero de los propuestos en esa competición, y por tanto, el que mejor promedio obtuvo entre los participantes en el resultado.

Solución:

Cubo y triángulo

Fase autonómica de la XXIV Olimpiada de Matemáticas (2013)

Sea ABCDEFGH un cubo de arista 2. Sea P el punto medio de la arista EF.

Determina el área del triángulo APB y la medida del ángulo APB.

Nota: que yo sepa, es imposible averiguar la medida exacta del ángulo APB sin conocer técnicas trigonométricas (que se estudian uno o dos años más tarde del curso que cursan los concursantes), me gustaría que alguien me informase si esto no es así, pero en ese caso esta pregunta es muy poco adecuada para el nivel que se pretende que tenga esta prueba.

Solución: próximamente

Pesadas

Fase autonómica de la XXIV Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2013

El señor Manuel dice que con sus tres pesos, de 1 kg, 3 kg y 9 kg, y la balanza, puede separar los kilos de lentejas que quieras, siempre que no pasen de 13 kg.

Completa la tabla siguiente para comprobar cómo ha de pesar los kilos de lentejas.

Plato A	Plato B	Kilogramos de lentejas
		1
		2
		3
		4
		5
		6
		7
		8
		9
		10
		11
		12
		13

Solución

Desigualdad con dos variables

Fase local de L Olimpiada Matemática Española, 2013/14

Sean x e y números reales entre 0 y 1.

Probar que x³ + xy² + 2xy ≤ 2x²y + x² + x + y

Solución:

Agrupando tarjetas

XIX Olimpiada de mayo, 2013

Se tienen 600 tarjetas, 200 de ellas tienen escrito el número 5, 200 tienen escrito el número 2 y las otras 200 tienen escrito el número 1.

Usando estas tarjetas se quieren formar grupos de tal forma que en cada grupo la suma de los números sea 9.

¿Cuál es la mayor cantidad de grupos que se pueden formar?

Solución:

En la peluquería

Fase autonómica de la XXIV Olimpiada de Matemáticas (2013)

Dos productos para el cuidado del cabello contienen el 30% y el 3% de un principio activo, respectivamente.

Para su uso óptimo, hay que mezclarlos para obtener un nuevo producto que tenga el 12% de principio activo.

¿En qué proporción debemos mezclar ambos productos?

Solución

Salto generacional

Fase autonómica de la XXIV Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2013

El abuelo Joan tiene cuatro nietos. Cada uno de ellos es exactamente un año mayor que el que le sigue en edad. Un año, Joan se da cuenta de que sumando las edades de sus cuatro nietos, el resultado es su propia edad, que además es múltiplo de 11.

¿Cuántos años tiene Joan y sus nietos, suponiendo que tiene más de 50 años?

Solución

Desigualdad con raíces

Fase local de L Olimpiada Matemática Española, 2013/14

Sean a y b números positivos. Probar que a + b ≥ √(ab) + √((a² + b²)/2).

Por si no sabéis interpretar los símbolos de la página web, se trata de probar que la suma de dos números positivos es mayor o igual que la suma de la raíz de su producto más la raíz del promedio de sus cuadrados (también llamada media cuadrática).

Solución

Una lista de 100 números muy peculiar

XIX Olimpiada de mayo, 2013

¿Es posible escribir una lista de 100 números impares en una fila de forma que la suma de cada cinco números adyacentes sea un cuadrado perfecto y la suma de cada 9 números adyacentes también sea un cuadrado perfecto?

Solución

Creando espacios

Fase autonómica de la XXIV Olimpiada de Matemáticas (2013)

La figura ABCEFG es una habitación con las esquinas perpendiculares, en la que conocemos las medidas EF (20 metros), AB (10 metros) y que AG = GF. Su área total es de 280 metros cuadrados.

Queremos crear en esta habitación dos espacios de área igual mediante una pared AD, donde D es un punto de la pared EC. Calcula a qué distancia de C se encuentra ese punto.

Solución: