Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011
Triángulo dividido
Dentro de cierto triángulo ABC, escogemos un punto concreto D de la base AC, y un punto E del lado BC, que cumplen una curiosa relación.
En la figura resultante, tenemos que AB mide lo mismo que BC y BD mide lo mismo que BE.
Calcula la medida del ángulo x, que forma ED con CD, sabiendo que el ángulo entre BD y BA forma 40 grados.
Solución: próximamente
Fase autonómica de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011
Cuatro famosos futbolistas discuten sobre quién fue el autor del último gol que le dio el triunfo a uno de sus equipos.
Andrés dice "Roberto es el autor del gol".
Roberto dice "Cristiano es el autor del gol".
Cristiano dice que Roberto ha mentido al decir que él ha sido el que ha metido el gol.
Leo dice que él no marcó el último gol.
Sabiendo que sólo uno de ellos dice la verdad ¿puedes averiguar quién fue el autor del gol?
Nota: los nombres de los jugadores no guardan ninguan relación con jugadores reales, por supuesto.
Solución: próximamente
Concurso de El Pais, octubre de 2011
Si lanzamos repetidas veces una moneda que no esté trucada y anotamos 1 cuando sale cara y 0 cuando sale cruz, conseguimos una serie de cifras binarias o bits que es aleatoria y no tiene sesgo. Por ejemplo, yo he conseguido una que empieza así:
0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1
Decimos que la serie no tiene sesgo porque en cada tirada la probabilidad de 1 es igual a la probabilidad de 0. Decimos que la serie es aleatoria porque nunca se puede adivinar el resultado que saldrá en la siguiente tirada, a diferencia de lo que, por ejemplo, pasa con estas otras series:
0 1 0 1 0 1 0 1....
0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1...
dentro de las cuales detectamos un patrón con el que, si conocemos unos cuantos bits de la serie, podemos adivinar cuál será el siguiente bit. (Apostaríamos tranquilos a que las dos últimas series no han sido obtenidas lanzando una moneda).
¿Para qué sirven las series de bits aleatorias y sin sesgo? Por ejemplo, para generar números aleatorios del tipo que se usan para sortear el ganador en cada desafío matemático de EL PAÍS. Pero esta semana no tenemos ninguna moneda. ¿Que podemos hacer?... Por suerte, hemos conseguido unas tabas.
La taba es un hueso que los mamíferos tenemos en el pie. Las de los corderos se usan para jugar desde tiempo inmemorial: aparecen en estatuas romanas y también en el cuadro Juegos de niños de Brueghel el Viejo. Los habitantes de algunos lugares de España mantienen una ancestral tradición de reunirse para apostar usando tabas. Por ejemplo, estas que me han prestado vienen de Colmenar Viejo, cerca de Madrid, en donde se juega con ellas los días de San Andrés y de Santa Lucía.
Cualquier taba está cargada porque no es simétrica respecto a su centro de gravedad y, aunque tiene cuatro formas distintas de caer, nosotros tendremos en cuenta dos posibles resultados. Vamos a lanzar repetidas veces una misma taba y anotamos 1 cuando queda hacia arriba la parte hundida del hueso y anotamos 0 si la taba cae de cualquier otra forma. La taba tiene carga, así que -casi seguro- obtendremos una serie aleatoria de bits con sesgo. Notemos que los tamaños y las formas de las tabas varían y por eso cada taba tiene su propia carga, distinta de las demás.
El desafío de esta semana es el siguiente: a partir de la serie aleatoria de bits conseguida lanzando repetidamente una misma taba, obtener una serie de bits -que necesariamente será más corta que la serie de partida- que no se pueda distinguir de la que produce una moneda sin trucar, es decir: obtener una serie de bits aleatoria y sin sesgo.
La solución a este desafío debe incluir una breve explicación de las operaciones y los pasos que llevan desde la serie de bits de la taba hasta una serie aleatoria de bits sin sesgo. La solución ha de funcionar usando una única taba, que puede ser cualquiera: por ejemplo, una de las tres que yo tengo aquí u otra taba que vosotros tengáis.
Fase local de XLVIII Olimpiada Matemática Española, 2011/12
Tenemos una colección de esferas iguales que apilamos formando un tetraedro cuyas aristas tienen todas n esferas. Calcula, en función de n, el número total de puntos de tangencia (contactos) que hay entre las esferas del montón.
Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011
Cinco amigas de cuarto de ESO deciden hacerse una foto, cada una con un vestido de diferente color. En la foto, todas se colocan mirando a la cámara, de forma que la primera es la que está más a la izquierda, y la última la de la derecha. Con los siguientes datos, responde a la pregunta planteada.
Cada una es de una comunidad diferente, las cinco compran su ropa en una tienda diferente, beben una bebida distinta, y tienen un reloj de marca diferente.
1.- la catalana se sitúa en el primer lugar, junto a la que está vestida de azul.
2.- La que se sitúa en el centro bebe leche.
3.- La vasca va vestida de rojo.
4.- La manchega compra su ropa en H&M.
5.- La gallega bebe té.
6.- La vestida de verde se sitúa a la izquierda de la vestida de blanco.
7.- La vestida de verde toma café.
8.- La que lleva un omega compra su ropa en Sfera.
9.- La de amarillo lleva un reloj Swatch.
10.- La que lleva un Lotus se sitúa al lado de la que compra en Zara.
11.- La que compra en Berska se sitúa al lado de la que lleva un reloj Swatch.
12.- La que lleva un reloj Calvin Klein bebe cerveza.
13.- La andaluza lleva un reloj Cartier.
14.- La que lleva un reloj Lotus está al lado de la que bebe agua.
¿Cuál de ellas compra en Stradivarius?
Concurso de El Pais, octubre de 2011
Caja con forma de prisma
Cinco partículas están atrapadas en el interior de una caja con forma de prisma triangular. Su base es un triángulo equilátero de lado 60 cm., y su altura es 40 cm..
Demuestra que siempre podemos encontrar dos de estas partículas que están a menos de 50 centímetros.
Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011
Ana vació sobre la mesa una caja de cerillas, distribuyéndolas en tres montones diferentes.
En esos montones había un total de 48 cerillas, pero observó lo siguiente: "Si del primer montón paso al segundo tantas cerillas como había en este último, y entonces del segundo paso al tercero tantas cerillas como había en este tercer montón, y después, del tercer montón paso al primero tantas cerillas como había en ese momento en el primero, al terminar este proceso los tres montones serán iguales".
¿Cuántas cerillas había al principio en cada montón?
Fase autonómica de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011
El 20 de mayo se hizo entrega de los diplomas a la promoción de medicina de 2011.
Los organizadores del acto pensaron que, para acabar más pronto, los alumnos deberían subir al escenario en grupos.
Pero al tratar de agruparlos de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro, de cinco en cinco o de seis en seis, vieron que en todos los casos sobraba un alumno.
Sin embargo, agrupándolos de siete en siete, todos los grupos quedaban igual, con lo que el acto se llevo a cabo de esta forma.
Sabiendo que eran menos de 400 ¿podrías decir cuántos alumnos eran en la promoción?
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