Pirámide numérica

Fase comarcal de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011

Pirámide numérica

Queremos construir una pirámide numérica con los números del 1 al 15, sin repetirlos, de forma que cada uno de ellos sea igual a la diferencia de los dos que tiene en el piso inferior.

Para ayudarte, hemos puesto ya unos cuantos.

En la cúspide estará el 5, sobre el 4 y el 9.

En la segunda fila, el 2 ocupa el extremo más próximo al 9, y en la fila más larga, en la base de la pirámide, el 6 está en el extremo más próximo a 4.

¿Serás capaz de colocar los que faltan?

Solución: próximamente

Sistema de ecuaciones

Fase local de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11

Halla todas las ternas (x, y, z) de números reales que son soluciones del sistema formado por las tres ecuaciones exponenciales siguientes:

3·2^y - 1 = 2^x + 2^-x

3·2^z - 1 = 2^y + 2^-y

3·2^x - 1 = 2^z + 2^-z

Solución

Partículas en colisión

Concurso de El Pais, junio de 2011

En un recinto cerrado tenemos un conjunto de partículas en tres estados diferentes: positivo, negativo y neutro.

Inicialmente hay 30 partículas positivas, 10 negativas y 17 neutras.

En un momento dado, las partículas comienzan a moverse y a chocar entre ellas.

Así, cuando dos partículas de diferente estado chocan, ambas cambian al estado restante. Es decir, si chocan una partícula positiva y otra negativa, tras el choque se convierten en dos neutras. De la misma manera, si chocan una negativa y una neutra se convierten en dos positivas; y si chocan una neutra y una positiva se convierten en dos negativas.

Esto significa que cada vez que chocan dos partículas de diferente signo, hay una partícula menos de cada uno de sus estados mientras que al estado restante se incorporan dos unidades. Cuando colisionan dos de igual signo, no varían su estado.

La pregunta de esta semana es si es posible diseñar una secuencia de choques de forma que al final todas las partículas acaben teniendo el mismo estado.

Si es posible, hay que explicar cómo hacerlo.

En caso contrario, hay que demostrar por qué no se puede.

Solución

Calculemos áreas

Fase comarcal de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011

Zonas sombreadas

Si el lado de todos los hexágonos interiores es de 3 centímetros, ¿cuánto miden las áreas sombreadas?

Solución

La superficie del jardín

Fase comarcal de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011

Plano del jardín

En el dibujo aparece el plano del jardín cuadrado que se va a construir en la entrada del instituto.

La zona sombreada, que está encerrada en uno de los cuatro cuadrados en los que está dividido, y tiene un lado que es la diagonal y otro que es la mitad del lado de ese cuadrado, mide 5 metros cuadrados y es la zona que está plantada ya de rosales.

El triángulo ABC, limitado por el vértice superior izquierdo, y la mitad de los dos lados opuestos del jardín, será la superficie que ocuparán todos los rosales cuando esté acabado el jardín.

Calcula la superficie del jardín completo y también de la zona donde irán los rosales.

Solución

Una camiseta bordada en zigzag

Concurso de El Pais, junio de 2011

Se quiere diseñar un adorno bordado para una camiseta siguiendo las condiciones siguientes:

a) Las puntadas se realizarán en zigzag entre dos rectas que forman un ángulo alfa.

b) La primera puntada empezará en el punto común a las dos rectas, y acabará en una de las rectas (que llamaremos horizontal).

c) Todas las demás puntadas deberán tener la misma longitud y se trazarán sin superponerse ni volver hacia atrás.

d) La última puntada debe ser perpendicular a la línea horizontal.

e) Queremos dar exactamente 20 puntadas.

Se pregunta:

1) ¿Cuál debe ser el ángulo alfa para que se cumplan esas condiciones?

2) Si la distancia entre O y el punto de la horizontal por donde pasa la última puntada fuera de 25 cm ¿Cuál sería la longitud de cada puntada?

3) ¿Qué ocurriría si quisiéramos hacer 21 puntadas en vez de 20 con las mismas condiciones, esto es, que la número 21 fuera perpendicular a la horizontal?

Solución

Las tres granjas

Fase comarcal de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011

En tres granjas hay un total de 333 animales. En la primera granja hay el triple de animales que en la segunda y en la segunda, el doble que en la tercera.

¿Cuántos animales habrá que pasar de la primera granja a la segunda y a la tercera para que el número de animales en cada granja sea un número de tres cifras capicúa distinto?

Solución

Buscando un número con muchos divisores (II)

V Concurso IES Miguel Hernández, 2010 (final)

Por si no lo sabes, hay una forma muy sencilla de calcular el número de divisores que tiene un número. Necesitamos conocer la descomposición en primos del número, por ejemplo, y por lo tanto, fijándonos en los exponentes de los primos que lo componen, tiene divisores.

Es decir, que sólo tenemos que sumar uno a todos los exponentes y multiplicarlos entre sí.

Usa esta información (y tu calculadora) para conseguir encontrar (o construir) el número entre 1000 y 2000 que tenga más divisores. ¿Necesitarás usar un único primo, dos primos, tres primos, ...?

Trata de probar con varias posibilidades, hasta que des con el campeón.

Solución