La fábrica de pastelitos

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

En esta ocasión probaremos con un problema práctico.

Una empresa produce un tipo de pastelitos envasados, que requieren tres máquinas distintas para su fabricación.

La máquina que mezcla los ingredientes y prepara la parte interna del dulce tarda 2 minutos en tener listos los pastelitos que van en una caja.

La máquina que recubre de una capa de chocolate y deja listo para su consumo tarda 5 minutos en preparar los pastelitos de cada bandeja que la primera máquina ha preparado para ella.

Por último, la máquina envasadora toma la bandeja de pastelitos recubiertos que prepara la recubridora y los envasa y prepara para su almacenaje en sólo 3 minutos. Al terminar el proceso los operarios pueden almacenar la caja, o llevarla al camión para su transporte.

Ninguna de las máquinas puede empezar con otra caja antes de haber terminado con la que está preparando.

La primera pregunta es muy sencilla. ¿Cuánto tiempo tarda en obtener la primera caja la empresa al empezar la jornada?

La segunda pregunta no es tan sencilla. ¿Cuántas cajas produce en una hora? ¿Y en una jornada de 8 horas? ¿Cuánto tiempo está funcionando realmente cada una de las máquinas en ambos casos? Ten en cuenta que no puedes guardar los pastelitos a medio producir en ningún sitio, ya que se estropearían.

Solución

Un rectángulo y un cuadrado

Olimpiada Ñandú, tercer nivel del certamen zonal, 2009

Formamos un rectángulo grande al unir un cuadrado a otro rectángulo más pequeño.

Si sabemos que el área del rectángulo grande mide 216 centímetros cuadrados, y que el perímetro del rectángulo pequeño mide el triple que el lado del cuadrado ¿cuánto mide el cuadrado, de lado y de área?

Solución

Sucesiones geométricas de Fibonacci

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

Este problema habla de ciertos tipos de sucesiones y sus propiedades.

Una sucesión se llama progresión geométrica si existe un número llamado razón que cumple que cada término de la sucesión se puede obtener multiplicando el anterior por la razón. Seguramente ya habrás estudiado este tipo de sucesiones.

Una sucesión se llama de Fibonacci si cada término a partir del tercero es suma de los dos anteriores. El ejemplo clásico de este tipo de sucesiones es la que forma 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., pero también se pueden construir muchas otras cambiando los dos primeros términos, por ejemplo 3, -1/2, 2 + 1/2, 2, 4 + 1/2, 6 + 1/2, ...

El problema que tienes que realizar pide demostrar los dos enunciados siguientes:

Si una sucesión no nula es simultáneamente progresión geométrica y de Fibonacci, entonces su razón es, o bien el número áureo, (√(5)+1)/2, o bien el opuesto de su inverso, (1-√(5))/2.

Además, si una progresión geométrica tiene una de esas dos razones, sea cual sea su primer término, entonces es una sucesión de fibonacci.

Solución

Coloreando un tablero

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

Este problema es de un tipo que os puede resultar un tanto extraño, pues se trata de un problema de coloración, es decir, de distinguir ciertos espacios de una figura por colores y encontrar ciertas regularidades.

En este caso, disponemos de un tablero dividido en 10 filas de 10 cuadrados cada una, es decir, en 100 cuadrados. Se colorean con las siguientes condiciones:

1.- Cada cuadrado puede ser azul, blanco o rojo.

2.- No hay dos cuadrados contiguos que sean del mismo color (cuadrados en diagonal no se consideran contiguos).

3.- Hay exactamente 20 que son rojos.

Una vez coloreado, se buscarán en el tablero pares de casillas contiguas, en vertical o en horizontal, que formen dominós perfectos, es decir, que tengan una casilla blanca y la otra azul. Si una casilla decidimos que pertenece a un dominó, no podemos hacer que pertenezca a otro, es decir, se considerará “tapada” o “gastada”.

El ejercicio tiene varias partes:

1.- Encuentra una coloración que permita formar 40 dominós perfectos distintos, es decir, sin casillas en común.

2.- Demuestra que no es posible obtener más de 40 dominós perfectos distintos.

3.- Encuentra una coloración de la que no podamos obtener de ninguna forma más de 30 dominós perfectos distintos.

4.- Demuestra que siempre podemos obtener al menos 30 dominós perfectos distintos.

Pista: Para ciertos pasos, te será útil dividir el cuadrado en filas, y cada fila en cinco pares horizontales. Puedes empezar considerando un rectángulo 10x2, y pintar sólo 4 de rojo. Recuerda que no puede haber dos contiguas con el mismo color.

Solución

La plaza del Número Pi

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

En la Plaza del Número Pi hay 17 portales, que al principio estaban numerados del 1 al 17 en orden circular. Sin embargo, cuando el cartero Calimero llegó a entregar una carta se quedó desconcertado. Alguien había cambiado muchos números de sitio. De hecho, ningún par de números eran consecutivos.

Preguntando a los vecinos, se enteró que habían dedicado un pequeño homenaje al nombre de la plaza, al Número Pi, o, más directamente, a su aproximación 3,14.

Colocaron los números de forma que entre dos portales hubiese una diferencia de 3, o bien de 14. “¡No puede ser!” Dijo Calimero. “¿Cómo prepararé las cartas para su entrega?”.

Los vecinos se negaron a cambiar de nuevo los números, y Calimero se fue muy enfadado.

Cuando ya estaba en la oficina, recapacitó y pensó que debía respetar la decisión de los vecinos. Sin embargo, no recordaba el orden en el que estaban los números de la plaza.

¿Puedes tú ayudar a Calimero? ¿Podrás reconstruir el orden en el que están? ¿Puede haber más de un orden diferente en la plaza?

Solución

Jardinero

Olimpiada Ñandú, primer nivel del certamen zonal, 2008

El jardinero ha plantado esta semana 372 plantitas.

Trabajó de lunes a viernes. El lunes puso cierta cantidad, el martes puso el doble de las que puso el lunes, el miércoles, el doble de las que puso el martes y así siguió hasta el viernes, poniendo, cada día, el doble de las que puso el día anterior.

¿Cuántas plantitas puso el lunes?

Solución

Un Sangaku

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

El primer problema es un curioso problema de geometría, de una clase muy especial. Se trata de un fragmento de un Sangaku (o San Gaku, 算額). Son problemas clásicos japoneses de tipo geométrico que tienen siempre una estructura muy similar y que eran concebidas como un desafío y también como una ofrenda a los dioses.

Sangaku

En este caso, el dibujo que debes resolver es el que aparece junto a este texto. El rombo que contiene a las cinco circunferencias está formado por dos triángulos equiláteros, es decir, sus ángulos agudos miden 60 grados. La circunferencia mayor es tangente a sus cuatro lados. Las demás son tangentes a dos lados y también a la circunferencia central.

Tu objetivo, como en todo Sangaku que se precie, es conocer las proporciones entre las diferentes figuras, es decir, suponiendo que el lado del rombo mide, pongamos, 42 centímetros, calcular cuánto valdría el radio de cada una de las cinco circunferencias (bueno, de tres, porque dos de ellas son iguales a otras dos, por simetría).

Te sugerimos que empieces por pensar en la circunferencia central y el rombo, y luego, una vez la hayas resuelto, vayas añadiendo las demás.

Como pista, te diremos que para trazar una circunferencia tangente a otra, si el punto de tangencia es conocido, se suele trazar primero la recta tangente común. Resulta más cómodo.

Recuerda tus conocimientos de triángulos, de tangentes y de radios de circunferencias, y dibuja las líneas que necesites. ¡Ánimo!

Solución

Sumando 2010

IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009

Este año vamos a empezar con un sencillo problema sobre números. La idea de este problema parte de una vieja anécdota de un genial matemático llamado Carl Friedrich Gauss. A los 10 años, el maestro le impuso la tarea de sumar 100 números consecutivos, del 1 al 100. El joven Gauss apenas tardó unos segundos, para desconcierto de su maestro. Explicó que, como se había dado cuenta de que el primer número y el último sumaban lo mismo que el segundo y el penúltimo, y que podía agrupar así los números en 50 parejas exactamente iguales, se había limitado a multiplicar 50 por 101, obteniendo el resultado exacto de 5050.

Ahora, lo que te proponemos es un juego parecido al que le propusieron a Gauss, pero para el que tendrás que discurrir un poco más. El año que viene es el 2010. ¿Podrías encontrar de cuántas formas es posible escribir 2010 como suma de varios números consecutivos? No te asustes, que no hay tantas. Seguro que hay menos de diez formas. Por lo menos, encuentra algunas de ellas.

Te sugerimos que primero pruebes con un número más bajito, como 20 o 25. Si ensayas con números pequeños podrás poner a prueba tus capacidades de generalizar, de crear una teoría propia y de comprobarla con otros números más grandes.

Solución