Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar.
La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
jueves, 19 de noviembre de 2009
Tres números primos
XV Olimpiada de Mayo, segundo problema del primer nivel, 2009
Encuentra números primos p, q, r, para los cuales sea p + q2 + r3 = 200.
pero no sé suficientes matemáticas para encontrar una manera elegante de demostrarlo. He utilizado un método chapucero:
El número que elevo al cubo no puede ser mayor que 5, o superaría a 200. Eso nos deja tres combinaciones:
p + q^2 + 5^3 = 200 -> p + q^2 = 75 p + q^2 + 3^3 = 200 -> p + q^2 = 173 p + q^2 + 2^3 = 200 -> p + q^2 = 192
En la primera (p+q^2=75) vuelvo a hacer el mismo razonamiento y q no puede ser mayor que 7. De las posibles cuatro combinaciones sólo es válida p=71, q=2, r=5.
En la segunda (p+q^2=173) vuelvo a hacer el mismo razonamiento y q no puede ser mayor que 13. De las posibles seis combinaciones, ninguna es válida.
En la tercera (p+q^2=192) vuelvo a hacer el mismo razonamiento y q no puede ser mayor que 13. De las posibles seis combinaciones sólo son válidas tres p=23, q=13, r=2 p=71, q=11, r=2 p=167, q=5, r=2
Hola me encanto Tu blog y ya me suscribia tus feed, la vdd es muy interesante todo lo que publicas, es dificil encontrar blogs como estos y español, Gracias !
De todas las 159 posibles combinaciones de naturales que cumplen la ecuación, sólo cuatro son de números primos:
ResponderEliminar2^3 + 5^2 + 167
2^3 + 11^2 + 71
2^3 + 13^2 + 23
5^3 + 2^2 + 71
pero no sé suficientes matemáticas para encontrar una manera elegante de demostrarlo. He utilizado un método chapucero:
El número que elevo al cubo no puede ser mayor que 5, o superaría a 200. Eso nos deja tres combinaciones:
p + q^2 + 5^3 = 200 -> p + q^2 = 75
p + q^2 + 3^3 = 200 -> p + q^2 = 173
p + q^2 + 2^3 = 200 -> p + q^2 = 192
En la primera (p+q^2=75) vuelvo a hacer el mismo razonamiento y q no puede ser mayor que 7. De las posibles cuatro combinaciones sólo es válida p=71, q=2, r=5.
En la segunda (p+q^2=173) vuelvo a hacer el mismo razonamiento y q no puede ser mayor que 13. De las posibles seis combinaciones, ninguna es válida.
En la tercera (p+q^2=192) vuelvo a hacer el mismo razonamiento y q no puede ser mayor que 13. De las posibles seis combinaciones sólo son válidas tres
p=23, q=13, r=2
p=71, q=11, r=2
p=167, q=5, r=2
Hola me encanto Tu blog y ya me suscribia tus feed, la vdd es muy interesante todo lo que publicas, es dificil encontrar blogs como estos y español, Gracias !
ResponderEliminarNo acabo de ver por qué no incluís la solución: 2^3 + 7^2 + 143.
ResponderEliminarTen en cuenta que 143 = 11*13 y no es primo
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