Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar.
La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
domingo, 15 de noviembre de 2009
Sumando 2009
Fase nacional de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009
Halla todas las sucesiones finitas de n números naturales consecutivos a1, a2, ..., an, con n ≥ 3, tales que a1 + a2 + ... + an = 2009.
Sea A el primer número de la sucesión, y n el número de términos consecutivos.
Si adaptamos la formula de la suma de una sucesión quedaria:
(A + (A + n - 1)) * n / 2 = 2009
despejando A tenemos
A = (2009/n) - (n-1)/2
A primera vista yo creo que solo hay una sucesión:
n = 1 -> 2009 (no válida porque n<3) n = 2 -> 1004, 1005 (no válida porque n<3) n = 7 -> 284, ...,290 VÁLIDA n = 287 -> -136, ... (no válida porque A no es natural) n = 2009 -> -1003, ... (no válida porque A no es natural)
para un n mayor creo que A no es entero, ya que los decimales de dividir 2009/n se tienen que cancelar con los decimales de (n-1)/2, que siempre son 0 o 0.5 . Eso solo pasa para n=2
En uno u otro caso tendremos 2009 expresado como producto de dos enteros y, si tenemos en cuenta que 2009 factoriza como 2009=7^2·41, sus divisores son 1, 7, 41, 49, 287 y 2009. De modo que las posibilidades son:
Hola,
ResponderEliminarSoy nuevo aquí y ahí va mi primer comentario.
Sea A el primer número de la sucesión, y n el número de términos consecutivos.
Si adaptamos la formula de la suma de una sucesión quedaria:
(A + (A + n - 1)) * n / 2 = 2009
despejando A tenemos
A = (2009/n) - (n-1)/2
A primera vista yo creo que solo hay una sucesión:
n = 1 -> 2009 (no válida porque n<3)
n = 2 -> 1004, 1005 (no válida porque n<3)
n = 7 -> 284, ...,290 VÁLIDA
n = 287 -> -136, ... (no válida porque A no es natural)
n = 2009 -> -1003, ... (no válida porque A no es natural)
para un n mayor creo que A no es entero, ya que los decimales de dividir 2009/n se tienen que cancelar con los decimales de (n-1)/2, que siempre son 0 o 0.5 . Eso solo pasa para n=2
> "para un n mayor creo que A no es entero"
ResponderEliminarcon las prisas y el copiar y pegar me comí media frase, y no se entiende lo que digo. Quería decir algo así:
"para un n diferente de estos números (1, 2, 7, 287 y 2009) creo que A no es entero"
En mi opinión se debe añadir a la solución de Alex el caso n = 49 con el que se obtiene la sucesión 17, 18, ... ,65
ResponderEliminarHola!
ResponderEliminarAntes de nada gracias al autor de esta página por brindarnos todos estos problemas ;)
Yo lo hice de la siguiente manera:
La suma de n=2k+1 naturales consecutivos se puede escribir de forma simétrica con un término central a:
(a-k) + ... + (a-1) + a + (a+1) + ... + (a+k) = (2k+1)a = n·a = 2009
Si es una suma de n=2k términos, no hay central pero podemos escribir
(a-(k-1)) + ... + (a-1) + a + (a+1) + ... + (a+k) = 2ka+k = k(2a+1) = (n/2)·(2a+1) = 2009
En uno u otro caso tendremos 2009 expresado como producto de dos enteros y, si tenemos en cuenta que 2009 factoriza como 2009=7^2·41, sus divisores son 1, 7, 41, 49, 287 y 2009. De modo que las posibilidades son:
n=1=2k+1, a=2009 ==> n=1, k=0, a=2009 ==> descartada por n<3
n/2=1=k, 2a+1=2009 ==> n=2, k=1, a=1004 ==> descartada por n<3
n=7=2k+1, a=287 ==> n=7, k=3, a=287 ==> 284+285+286+287+288+289+290 = 2009
n/2=7=k, 2a+1=287 ==> n=14, k=7, a=143 ==> 137+...+142+143+144+...+150 = 2009
n=41=2k+1, a=49 ==> n=41, k=20, a=49 ==> 29+...+48+49+50+...+69 = 2009
n/2=41=k, 2a+1=49 ==> n=82, k=41, a=24 ==> descartada por a-(k-1)<0
n=49=2k+1, a=41 ==> n=49, k=24, a=41 ==> 17+...+40+41+42+...+65 = 2009
n/2=49=k, 2a+1=41 ==> n=98, k=49, a=20 ==> descartada por a-(k-1)<0
n=287=2k+1, a=7 ==> n=287, k=143, a=7 ==> descartada por a-(k-1)<0
n/2=287=k, 2a+1=7 ==> n=574, k=287, a=3 ==> descartada por a-(k-1)<0
n=2009=2k+1, a=1 ==> n=2009, k=1004, a=1 ==> descartada por a-(k-1)<0
n/2=2009=k, 2a+1=1 ==> n=4018, k=2009, a=0 ==> descartada por a-(k-1)<0
Así pues las 4 soluciones válidas son
284+285+286+287+288+289+290 = 2009
137+...+142+143+144+...+150 = 2009
29+...+48+49+50+...+69 = 2009
17+...+40+41+42+...+65 = 2009
Un saludo