Raíces que suman enteros

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) Determinar todos los enteros n tales que la expresión de la imagen siguiente sea entera.

Suma

Para la descripción de la fórmula, voy a escribir la raíz cuadrada como la función raíz(). La expresión sería raíz(25/2+raíz(625/4-n))+raíz(25/2-raíz(625/4-n)).

Solución

Juego de dados

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) En un juego con dados cúbicos normales, se lanzan dos dados y con los número que salen se forma una fracción menor o igual a 1. Pepe afirma que es más fácil que salga una fracción reducible que irreducible, mientras que José dice lo contrario.

¿Quién tiene razón?

Solución

Carrera de robots

(Fase provincial de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Se prueban dos modelos de robots, Chips y Bits, en una carrera en la que han de recorrer 100 metros de distancia y volver al punto de partida. Chips recorre 3 metros en cada salto, y Bits sólo 2 metros, pero Bits bota 3 veces por cada 2 que bota Chips. ¿Quién vuelve antes después de recorrer los 200 metros?

Solución

Animales domésticos

(Fase provincial de Castellón de la XVII Olimpiada Matemática) En las casas de María, Juana y Paula hay un total de 16 animales domésticos, entre los que hay 3 perros, el doble de gatos y, además, canarios y loros. En casa de Juana no pueden ver a los perros ni a los loros, pero tienen 4 gatos y dos canarios (con mucho miedo). En casa de Paula sólo hay un perro y dos gatos. En casa de María tienen 3 canarios y otros animales.

¿Qué otros (y cuántos) animales hay en casa de María?

Solución

La inecuación

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) Se considera la inecuación |x-1| < ax, donde a es un parámetro real.

a) Discutir la inecuación según los valores de a.

b) Hallar los valores de a para los cuales la inecuación tiene exactamente DOS soluciones enteras.

Solución

La diana (nivel 2)

(Fase comarcal de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Al lanzar un dardo a una diana como la de la figura, con 12 sectores con valores del 1 al 12 y dos anillos de puntuación especial, se obtienen los puntos de la zona. Si cae en la zona del anillo de doble puntuación, el valor se multiplica por 2, y si cae en la zona del anillo de triple puntuación, se multiplica por tres.

a) ¿Qué puntos del 1 al 36 son imposibles de conseguir?

b) ¿Qué puntuaciones se pueden obtener de dos formas distintas?

c) ¿Qué puntuaciones se pueden conseguir de tres formas distintas?

Diana

Solución

La diana

(Fase comarcal de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Al lanzar un dardo a una diana como la de la figura, con 12 sectores con valores del 1 al 12 y dos anillos de puntuación especial, se obtienen los puntos de la zona. Si cae en la zona del anillo de doble puntuación, el valor se multiplica por 2, y si cae en la zona del anillo de triple puntuación, se multiplica por tres.

¿Qué puntos, del 1 al 36, son imposibles de obtener?

Diana

Solución

Monedas en los bolsillos

(Fase provincial de Castellón de la XVII Olimpiada Matemática) Roberto tiene 10 bolsillos y 44 monedas de plata. Quiere repartir las monedas en los bolsillos de manera que en cada uno haya un número distinto de monedas. ¿Puede hacerlo?

Solución

Fracciones enteras

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) Un número positivo x verifica la relación siguiente: x² + (1/x²) = 7.

Demuestra que el valor x⁵ + (1/x⁵) es entero, y calcula su valor.

Solución