Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar.
La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
jueves, 12 de febrero de 2015
Un producto de números enteros
Cuarto problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015
Los enteros positivos x, y, z cumplen las dos igualdades siguientes:
x + 2y = z
x2 - 4y2 + z2 = 310
Halla todos los posibles valores del producto xyz.
De la primera igualdad se tiene que: x+2y-z=0 Ahora la idea es intentar construir la expresión de la segunda igualdad utilizando el resultado anterior. Una forma podría ser calculando el siguiente producto: (x+2y-z)(x-2y-z) = x^2 -4y^2 + z^2 - 2xz Como uno de los factores del lado izquierdo es cero, entonces: 0 = (x^2 -4y^2 + z^2) - 2xz 0 = 310 - 2xz xz = 155 En vista de que x, z son enteros positivos, buscamos la factorización de 155 en factores primos: xz = 155 = 5*31 Luego, hay cuatro posibilidades que analizar: (x=5 z=31), (x=31 z=5), (x=1 z=155) o (x=155 z=1). Al reemplazar los segundos y los cuartos valores en la primera igualdad se obtienen y=-13 e y=-77, respectivamente, por lo tanto se descartan ya que y es un entero positivo. Reemplazando la primera y tercera posibilidad, se llega a y=13 e y=77, respectivamente. Por lo tanto, de (x=5 y=13 z=31) se tiene que xyz=2015; por otra parte, de (x=1 y=77 z=155) se tiene que xyz=11935; los cuales serían los dos posibles valores del productos xyz. Saludos :)
De la primera igualdad se tiene que:
ResponderEliminarx+2y-z=0
Ahora la idea es intentar construir la expresión de la segunda igualdad utilizando el resultado anterior.
Una forma podría ser calculando el siguiente producto:
(x+2y-z)(x-2y-z) = x^2 -4y^2 + z^2 - 2xz
Como uno de los factores del lado izquierdo es cero, entonces:
0 = (x^2 -4y^2 + z^2) - 2xz
0 = 310 - 2xz
xz = 155
En vista de que x, z son enteros positivos, buscamos la factorización de 155 en factores primos:
xz = 155 = 5*31
Luego, hay cuatro posibilidades que analizar: (x=5 z=31), (x=31 z=5), (x=1 z=155) o (x=155 z=1).
Al reemplazar los segundos y los cuartos valores en la primera igualdad se obtienen y=-13 e y=-77, respectivamente, por lo tanto se descartan ya que y es un entero positivo.
Reemplazando la primera y tercera posibilidad, se llega a y=13 e y=77, respectivamente.
Por lo tanto, de (x=5 y=13 z=31) se tiene que xyz=2015; por otra parte, de (x=1 y=77 z=155) se tiene que xyz=11935; los cuales serían los dos posibles valores del productos xyz.
Saludos :)