Fase local de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11
Halla todas las ternas (x, y, z) de números reales que son soluciones del sistema formado por las tres ecuaciones exponenciales siguientes:
3·2y - 1 = 2x + 2-x
3·2z - 1 = 2y + 2-y
3·2x - 1 = 2z + 2-z
A primera vista hay una solución trivial:
ResponderEliminarx=0 , y=0 , z=0
Para ver si hay más soluciones, si queremos podemos sustituir estas ecuaciones por otras haciendo un cambio de variables.
Si llamamos x'=2^x , y'=2^y , z'=2^z entonces el sistema queda más fácil de leer:
3y'-1 = x' + (1/x')
3z'-1 = y' + (1/y')
3x'-1 = z' + (1/z')
y a partir de aquí voy un poco perdido para intentar resolver sin desarrollar las ecuaciones.
Sí veo por la "simetría" de las ecuaciones que si hay una solución (x=a,y=b,z=c) entonces cualquier otra combinación de a,b,c será también solución.
Si la "simetría" del sistema de ecuaciones "obligase" a que las soluciones fueran idénticas (x=a,y=a,z=a) entonces seria fácil. Pero no sé como demostrar eso.
En ese hipotético caso sólo habría dos soluciones:
3x'-1 = x' + (1/x')
3x'²-x' = x'² + 1
x'=1 y x'=-0.5
x'=1 lleva a que 2^x=1 y x=0
x'=-0.5 lleva a que 2^x=-0.5, cosa que no puede pasar.