Fase autonómica de la XX Olimpiada Matemática, 2009
El punto P está en el interior de un triángulo equilátero ABC. los puntos Q, R y S son los pies de las perpendiculares trazadas desde P a los lados AB, BC y AC, respectivamente. Sabemos que PQ = 1, PR =2 y PS = 3.
¿Cuánto vale el lado del triángulo equilátero ABC?
Sea a el lado del tr. ABC.
ResponderEliminarArea(ABC)=a^2*sqrt(3)/4.
Area(ABC) = Area(ABP) + Area(BPC) + Area(APC) = a/2 + 2a/2 + 3a/2 = 3a ->> a = 4*sqrt(3).
Nota: sqrt = Raíz cuadrada.
MIGUE.
Teniendo el tiengulo ABC, y dibujamos las rectas P-Q, P-R y P-S.
ResponderEliminarA-Q-P-S formara un area.
En ella, formamos una linea imaginaria que una P-A; h.
El angulo A, ahora se dividira en 2 angulos; X y Y. (divididas por h)
Además sabemos que P-S=3 y P-Q=2
Por ello,
# x+y=60
# h/sin90=3/sinx
# h/sin90=2/siny
--> 3/sinx=2/siny
--> x+y=60
... lo resolvemos, x=36,59º
180º-90º-36,59º=53,41º (angulo formado ente A-P y P-S)
w/sin53,41=3/sin36,59
w=4,04
asi, tenemos la longitud de la parte lateral superior.
Repetimos el proceso con P-S-C-R
(bla bla bla bla, esta parte me la salto)
y la parte lateral inferior nos sale a 2,89
Parte lateral superior+parte lateral inferior,
4,04+2,89=6,93
La longitud de cada lado 6,93.
:)