Fase local de XLVIII Olimpiada Matemática Española, 2011/12
Tenemos una colección de esferas iguales que apilamos formando un tetraedro cuyas aristas tienen todas n esferas. Calcula, en función de n, el número total de puntos de tangencia (contactos) que hay entre las esferas del montón.
MUY BUENO TU PROBLEMA
ResponderEliminarproblema que se lrae,muy bueno el blogger
ResponderEliminarAgradecería que borraran mi anterior comentario y añadieran éste, correspondiente a la solución correcta del problema:
ResponderEliminarN = n*(n^2-1)
El tetraedro(ttr)de n=2 es el de menor arista que podemos formar.
ResponderEliminaresta formado por 4 esferas (esf)que se contactan entre si en 6 puntos.
Agregando 1 esf.a la arista el numero de contactos se incrementara en 6 por el nro. de esf. de la cara del ttr. precedente. Asi, el ttr. de n esf. de arista tendra tantos P de C como la suma de los P de C del ttr. que le precede (arista=n-1) mas 6 veces el numero de esf. de la cara del mismo.Asi se van acumulando los PdeC al aumentar n:
Total contactos TC=6(1+ 1+2+ 1+2+3+.... +(1+2+3+.....(n-1))=
6(n(1+2+3+....n-1)+1^2+2*2+3^2+...(n-1)^2))= (##)
6(n(n(n-1)/2-(n-1)n(2(n-1)+1)/6*(2n^3
=6(n^3-n^2)/2-(2n^3-3n^2+n)/6=
n^3-n
TC=n^3-n
## La suma de los primeros h naturales=!/6(h(h+1)(2h=1)
se puede dem. por IM
Algun signo del desarrollo del calculo fue mal tipeado pero el resultado y el concepto serian correctos
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