domingo, 23 de enero de 2011

Sorpresa en un decágono

Fase local de Cataluña de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11

En un circulo de radio r inscribimos el decágono regular de vértices A1, A2, A3, ..., A10.

Denotamos como |Ai Aj| la longitud del segmento AiAj.

Demuestra que |A1 A4| − |A1 A2| = r.

Solución

a las

4 comentarios:

  1. Anónimo26 de enero de 2011, 18:37

    sóc ricard peiró una altra vegada.
    Acabe de veure les solucions oficials del problema i la meua és distinta.

    Pot ser t'interessa!

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  2. Unknown27 de enero de 2011, 12:12

    Este problema se puede resolver de tres maneras; gráficamente, algebraicamente y por propiedades geométricas. Como de geometría voy escaso voy a proponer soluciones del primer y segundo tipo.


    Gráficamente:

    Partimos del polígono de 10 caras.
    Trazamos una recta que pase por A1 y A4
    Tazamos un círculo con centro en A1 y radio |A1 A2|
    Se crea una intersección dentro del polígono que llamamos P
    Trazamos un círculo con centro en A4 y radio |A4 P|

    Este círculo pasa por el centro del polígono y necesariamente se demuestra que |A1 A4| − |A1 A2| = r.


    Algebraicamente:

    Primero calculamos |A1 A2|, dividimos el polígono en 10 triángulos iguales tal que:
    A= r , B=r , γ=π/5=36º

    Calculamos C por el teorema del coseno:
    c^2=a^2+b^2-2ab•cos(π/5)

    c^2=r^2+r^2-2•r•r•(5^(1/2)/4+1/4)
    c^2=2r^2-2r^2•(5^(1/2)/4+1/4)
    c^2=r^2•(3/2-5^(1/2)/2)
    c=r•(3/2-5^(1/2)/2)^(1/2)

    Ahora calcularemos |A1 A4| de manera análoga, ya que el ángulo es 3 veces mayor en este caso obtendremos un triángulo tal que:
    A= r , B=r , γ=4π/5=144

    Aplicamos de nuevo el teorema del coseno:
    c^2=r^2+r^2-2•r•r•(-5^(1/2)/4-1/4)
    c^2= r^2•(3/2+5^(1/2)/2)
    c=r•(3/2+5^(1/2)/2)^(1/2)

    Ahora tenemos las longitudes de |A1 A4| y |A1 A2|, restamos:

    x=r•(3/2+5^(1/2)/2)^(1/2)- r•(3/2-5^(1/2)/2)^(1/2)
    x=r•((3/2+5^(1/2)/2)^(1/2)- (3/2-5^(1/2)/2)^(1/2))
    x=r•(1)
    x=r

    Como |A1 A4|-|A1 A2|=r, queda demostrado el enunciado.

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  3. Unknown27 de enero de 2011, 12:54

    Una errata.
    en la solución que he propuesto, aparece como valor del ángulo del 2º triángulo 4pi/5, cuando debería ser 3pi/5.

    También el valor del coseno, que pone (-5^(1/2)/4-1/4) cuando debería ser (1/4-5^(1/2)/4).


    El resto creo que está bien, lo he copiado de las 100.000 +-2 hojas que he usado y se me ha traspapelado un poco...

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  4. noticias9 de julio de 2011, 23:54

    guaaa!! me encanta el blog, siempre encuentro temas muy interesantes.

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