Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar.
La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
domingo, 31 de octubre de 2010
Otra ecuación con raíces
Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, Alicante 2010
Calcula las soluciones reales de la ecuación siguiente:
(97- x)(1/4) + x(1/4) = 5
(En realidad, se trata de que las sumas de las raíces cuartas de 97 - x y x dé 5)
Como ya vimos en la suma de raíces cúbicas, es mejor resolver haciendo un cambio de variable, para aislar la raíz en un solo termino.
ResponderEliminarCambiamos x por V^4:
(97-V^4)^(1/4)+(V^4)^(1/4) = 5
(97-V^4)^(1/4)+V = 5
(97-V^4)^(1/4) = 5-V
Ahora podemos elevar a la cuarta potencia:
((97-V^4)^(1/4))^4) = 97-V^4
(5-V)^4 = v^4-20V^3+150V^2-500V+625
Y nos queda la siguiente igualdad
97-V^4 = v^4-20V^3+150V^2-500V+625
2v^4-20V^3+150V^2-500V+528 = 0
Que tiene 4 raíces, de las cuales solo dos reales V1=3 y V2=2
Ahora deshacemos el cambio de variable en V1=3->x1=3^4=81
(97-81)^(1/4)+81^(1/4) = 5
(16)^(1/4)+3= 5
2+3 = 5
Ahora deshacemos el cambio de variable en V2=2->x2=2^4=16
(97-16)^(1/4)+16^(1/4) = 5
(81)^(1/4)+2= 5
3+2 = 5
Por lo que sabemos que las soluciones para la ecuación son x=2 y x= 3.
(Al deshacer un cambio de variable para potencias pares debemos comprobar las soluciones negativas, en este caso no satisfacen la igualdad.)