Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, Alicante 2010
Supongamos que tenemos un tablero con dieciséis casillas dispuestas en cuatro filas y cuatro columnas.
(a) Prueba que se pueden colocar siete fichas, nunca dos en la misma casilla, de forma que al eliminar dos filas y dos columnas cualesquiera, siempre quede alguna ficha sin eliminar.
(b) Prueba que si se colocan seis fichas, nunca dos en la misma casilla, siempre se puede eliminar dos filas y dos columnas de forma que todas las fichas sean eliminadas.
en l'apartat a) només hem de trobar una col.locació que complixca el requisit demanat. Per exemple, si les posem en les caselles: 11, 13, 22, 31,33,42,44 (on el primer digit indica fila, i el segon columna).
ResponderEliminaren el b), podem argumentar, sense pèrdua de generalitat per a columnes:
Si hem de posar sis fitxes en quatre columnes, i no les podem dividir, és evident que hi haurà dues columnes amb dues fitxes (o una amb més de 2, però aquest cas és trivial), aleshore s'eliminen aquestes, i les files on estiguen les altres dues.
La parte b es muy fácil, siempre va haber 2 columnas que tengan un total de 4 o más puntos (por palomar). Elimino esas dos columnas y luego elimino las respectivas filas de los puntos restantes.
ResponderEliminarEl otro es más difícil de explicar así que solo doy el ejemplo: usamos las coordenadas 11, 12, 21, 23, 32, 33, 44. Eliminando dos filas y/o columnas cualesquiera van a quedar al menos tres puntos que no coinciden en ninguna coordenada (la idea es hacer coincidir, en 6 de los puntos, cada coordenada solo 1 vez y dejar un punto aislado)